Междинка (Ориентиране)

[Pitagorvd]

Много дълго време ровех из задачите във форума, но не открих тази във вида, в който я пускам. Извинявам се, ако все пак я има.
Един пътешественик тръгнал от определена т. А на земната повръхност, изминал 10 км. на юг до т. В, после тръгнал на изток и пак изминал 10 км. до т. С. Накрая тръгнал на север и след 10 км. попаднал отново в т. А. Къде се намира тази точка А?

[Wise]

Има я, за някакви извънземни беше.
Точката не е само една, а са безкрайно много.

[Pitagorvd]

Да, разбира се. Ако бе само Северният полюс, не бих я публикувал.. Благодаря.

[MitkoS]

Всеки малък паралел около южния полюс, чийто радиус е:
R(n) = 10км.(1 + 1/(n.2.pi))
става за изходна точка A, като n е произволно естествено число.
Т.е. има безброй такива паралели, а всеки от тях има безброй точки. И всичкото тия точки стават за изходна точка A.
Може би може да има и други точки.

[dedis]

... чийто радиус е:...

Земята е геоид..., как мериш радиуса?
Майтап, добро решение!

[Pitagorvd]

Всеки малък паралел около южния полюс, чийто радиус е:
R(n) = 10км.(1 + 1/(n.2.pi))
става за изходна точка A, като n е произволно естествено число.
Т.е. има безброй такива паралели, а всеки от тях има безброй точки. И всичкото тия точки стават за изходна точка A.
Може би може да има и други точки.

Много се зарадвах на тази формула, но като помислих малко, се питам - дали е вярна тя? За да е вярна, е небходимо двете окръжности да са концентрични, а това означава и компланарни, което очевидно не е вярно.
Въпреки това, формулата е безкрайно полезна, защото на нейна база може да се докаже, че има точки от земната повърхност, от които, след като се изминат последователно на юг, изток, север и запад по 10 км., се попада в същата точка...

[MitkoS]

Земята е геоид..., как мериш радиуса?
Майтап, добро решение!

Абсобютно прав си за радиуса - пропуска е мой.
Вместо "радиус X", да се чете "на разстояние X от южния полюс измерено по земната повърхност".
... То като се замислиш, хем "паралел" ("паралел" = "нещо успоредно"), хем окръжност.

Много се зарадвах на тази формула, но като помислих малко, се питам - дали е вярна тя? За да е вярна, е небходимо двете окръжности да са концентрични, а това означава и компланарни, което очевидно не е вярно.
Въпреки това, формулата е безкрайно полезна, защото на нейна база може да се докаже, че има точки от земната повърхност, от които, след като се изминат последователно на юг, изток, север и запад по 10 км., се попада в същата точка...

Честно казано, не знам какво е "компланарни окръжности". Звучи ми познато, но нищо не ми говори в момента. Ако някога съм знаел смисъла на тая дефиниция, то сега напълно съм я забравил и затова не мога да коментирам бележката.

А иначе, идеята на формулата е такава:
- Пътешественика е на малко повече от 10 км от Южния полюс (Точка А)
- Прави 10 км на Юг и стига до точка B, която е на разстояние от Южния полюс 10км/(n.2.pi)
- После като тръгне на изток (или запад) и извърви 10 км, ще навърти n на брой кръгчета около Южния полюс, но важното е, че след 10 км ходене на изток (или запад) ще се окаже пак в точка B
- И после с ходене 10 км на север ще се върне в точка А

[Pitagorvd]

Имам предвид това, че разстоянието R(n) е изведено, като към радиуса на една окръжност са прибавени 10 км., изминати по дъга. Това е така, защото тези две окръжности, за които става дума, не лежат в една равнина и техните центрове не съвпадат с южния полюс, а са върху земната ос.
Иначе решението е ОК! Въпросът е за формулата.

ПП компланарни - лежат в една равнина.

[MitkoS]

Да, невярна е.
Дори и след уточнението:
"... Вместо "радиус X", да се чете "на разстояние X от южния полюс измерено по земната повърхност"....
остава невярна, тъй като ако сме на разстояние 10км/(n.2.pi) от Южния полюс, то това не значе че сме върху паралел чиято дължина умножена по естествено число е 10км. Като се има пред вид какво число е pi, може даже да се каже, че със сигурност не сме върху такъв паралел, колкото и голямо да е n и колкото и големи касметлии да сме.

[Pitagorvd]

Все пак, има достатъчно много паралели, които отговарят на условието, стига дължината им в километри да е член на редицата: 10, 5, 2.5, 2, 1, 0.5, 0.25... и т.н...
Така че, ти си на ред за задача, MitkoS!

[MitkoS]

ГЛАДЕН ПАЯК И ЗАСПАЛА МУХА

Стая с размери 30 х 12 х 12 в някакви мерни единици. На едната стена има заспала тлъста муха, която ще се събуди след точно 41 секунди и ще излети, а на противоположната стена има гладен паяк, който най-бързо може да пълзи по стените със скорост една мерна единица за секунда.

Ако приемем, че ъглите на стаята са с координати:
(0,0,0), (12,0,0), (0,12,0), (12,12,0), (0,0,30), (12,0,30), (0,12,30), (12,12,30),
то координатите на паяка са (1,6,0),
а на мухата са (11,6,30)

Има ли шанс паяка да стигне до мухата, преди тя да се е събудила и излетяла.

[Pitagorvd]

Да! Ако паякът успее да се организира и потегли на път преди да е изтекла 1 секунда. Намерих път 40 единици и мисля, че по-къс няма... Ама кой знае...

Edit:
Преди години ми се наложи да описвам същата задача (при размери 14 на 4 на 4 м.) и направих картинка, която показва най-краткия път на паяка... При сегашните размери траекторията е малко по-друга...

[Bibi]

Маршрутът, който си нарисувал е достатъчно къс, но не е 40, а 40.72.
Има по-къс, който наистина е 40, но той минава през 3 от големите стени.
Ето картинки:



Твоето минава по черната линийка на разгъвката и там лесно се смята, че дължината му е корен от 1658 (372 + 172).
По-късото минава по червената и дължината му е 40 (корен от 322 + 242).

(според мен)

[MitkoS]

(и според мен)

[Pitagorvd]

В предния си пост написах, 4е съм намерил пътя 40 метра и че вероятно по-къс няма, а чертежът, който показвам, е за същата задача, но при други размери на помещението. Чертал съм го преди доста години и при онази задача червената траектория на Биби се оказва по дълга от синята. Просто не ми се правеше втори чертеж...