Междинка "Самолет и вероятности"

[Wise]

В самолет се качват 120 пътника. Влизат по един и си сядат на означените в билета места. Самолетът има точно 120 места.
На една от пътничките и прилошава и стюардесата я настанява на най-близкото свободно място. След това предупреждава
останалите пътници, че ако мястото им е заето, да сядат на произволно свободно място. Всички спазват указанието.

Вие сте последен/на на опашката. Каква е вероятността да седнете точно на своето място?  

[SetCombG.com]

[dmitankin]

~ 3,67%

[Wise]

~ 3,67%

Е, една блондинка каза 50% /или ще седне, или - не /.........

//нека малко аргументи де.....

[dmitankin]

Исках да оставя възможност и на другите да се помъчат. Моят отговор е с приближение, тъй като не ми се смята НОК на числата от 2 до 120 и ползвах онлайн калкулатор.

[SetCombG.com]

[MitkoS]

Не трябва ли да се уточни в условието кой номер поред е пътничката на която е прилошало ?
Щото ако е с предпоследен номер ...

[dmitankin]

То това е задачата - да събереш всички възможни случаи (119) и да разделиш вероятността за всеки от тях на броя им. Така се получава (1/2 + 1/3 + ... + 1/120) / 119. Това в скобите е хармоничният ред без първия си член.

[Wise]

Не трябва ли да се уточни в условието кой номер поред е пътничката на която е прилошало ?
Щото ако е с предпоследен номер ...

"......След това предупреждава останалите пътници, че ако мястото им е заето, да сядат на произволно свободно място......"

Някак не се връзва с предпоследен номер, ама..........има заченка на мисъл.....

Задачката може да се реши чисто логически, но и може математически да се подкрепи доказателството!

Жокер:
"Щото ако е с предпоследен номер ...
а ако е с пред-предпоследен номер............"

[MitkoS]

...
Жокер:
"Щото ако е с предпоследен номер ...
а ако е с пред-предпоследен номер............"

Хе-хе, ако е с пред-пред-последен, прилагаме любимата ни вече формула на Бейнс

[SetCombG.com]

[Wise]

Не трябва ли да се уточни в условието кой номер поред е пътничката на която е прилошало ?
Щото ако е с предпоследен номер ...

Ако те улеснява- сметни за 100-тния пътник.
//няма закачка с пола - никакво значение няма дали е кака или батко!

//ама е важно да зафаниш отподере........

[MitkoS]

Втори опит

Нека пътничката на която е прилошало да е с пореден номер N
След нея има 120-N човека. А ако не броим мен (нали аз съм 120-тия), то след нея има 119-N човека.

Тия 119-N, човека може да седнат по (119-N)! различни начина на техните места
( (119-N)! е броя на пермутациите )
Обаче от тия (119-N)!, трябва да извадим (118-N)!
(, защото (118-N)! = (119-(N+1))! е броя на пермутациите, при които N-тата пътничка си е на нейното място, а само тия след нея до 119 се джуркат, а това са невъзможи ситуации).

Дотук имаме брой на благоприятни изходи (тия при които аз съм си заварил стола празен):
(119-N)! - (118-N)!

А пък общия брой е:
(120-N)! - (119-N)!  

И окончателно получавам, че вероятността е:

вероятност = ((119-N)! - (118-N)!)  / ((120-N)! - (119-N)!)

... много аритметика

ПП. Израза май може да се опрости значително:
вероятност = ((119-N)! - (118-N)!)  / ((120-N)! - (119-N)!) = (118-N) / ((119-N)²)

[Wise]

Добре де - нека имаме 4 свободни места в момента на какоприлошаването.
Нека М1-М4 са местата, а П1-П4 са пътниците.
//Ние сме П4 на място М4//
хайде да смятаме

[MitkoS]

Добре, да смятаме:

Брой благоприятни изходи:
П1 --М2, П2 --> М1
П1 --М3, П3 --> М1
П1 --М2, П2 --> М3, П3 --М1,
П1 --М3, П3 --> М2, П2 --М1,
Четири на брой.
Точно толкова и по формулата (119-N)! - (118-N)!, при N=117
(119-116)! - (118-116)! = 3! - 2! = 6-2 = 4
(хм, ... при така дадения пример, каката трябва да е с номер 117, а не 116) ...

Формулката ли отхвърляш, или решението като цяло ?

[Wise]

А защо не виждам П1-М1

[MitkoS]

А защо не виждам П1-М1

Приел съм, че каката задължително сяда на чуждо място.
Сега пак прочетох условието - то допуска тя да седне и на нейното си място.
Което би трябвало значително да опрости формулата.

Сори Wise, трябва да изляза от форума сега. Ще продължа утре, а ако някой друг има желание, нека да оправи решението с правилното тълкуване.

[MitkoS]

Трети опит

Нека каката е с пореден номер N
1,2,...,N-1,N,N+1,...119,120

Броя на всички разбърквания на местата от N до 120 е (120-(N-1))!
Обаче от тия всчки разбърквания имаме и такива които не могат да се случат и са невъзможни - това са тия, при които каката си е седнала на нейното N-то място, а пътниците след нея са се разбъркали:
1,2,...,N-1,N,a,b,c,...
Така че, тия невъзможните трабва да ги преброим и да ги махнем от "всичките"
Т.е.
"всички възможни" = "всички" - "всички невъзможни"
Те "невъзможните" се броят много лесно, те са (120-N)!
"възможни" = (120-(N-1))! - (120-N)!

Сега да броим "благоприятните". Те са:
1,2,...,N-1,a,b,c,...120
Техния брой е (119 - (N-1))!

Окончателно имаме
"вероятност" = "благоприятни" / "възможни"
т.е.
"вероятност" = (119 - (N-1))! / ((120-(N-1))! - (120-N)!)

А като се опрости, се получава

"вероятност" = (119-(N-1))! / ((120-(N-1))! - (120-N)!)
= (119-(N-1))! / ((121-N)(120-N)! - (120-N)!) =
= (120-N)! / ((120-N)!.(121-N-1) =
= 1 / (120-N)

т.е.
"вероятност" = 1 / (120-N)

ПП. Май пак нещо съм объркал, щото при N=119 трябва да се получи нулева вероятност,
слети поредни публикации на:  8.06.2011, 14:28
Хе-хе, четвърти опит

Броя на "благоприятните" го изкарвам 1+(1+2+3+4+5+...+(119-N)) = 1+(119-N)(120-N)/2
Броя на "неблагоприятните" го изкарвам 2^(119-N) ("две на степен (119-N)")
Броя на "всичките възможни" = "благоприятните" + "неблагоприятните"

==> "вероятност" = (1+(119-N)(120-N)/2) / ((1+(119-N)(120-N)/2)+ 2^(119-N))

Ако дотук Wise не намери очеизвадна грешка във формулата, ще напиша детайлите.
Засега само ще кажа, че броя на "благоприятните" и броя на "неблагоприятните" ги намирам чрез триъгълника на Паскал и само със събиране чрез метода за събиране от задачата за баничките и рестото, който така и не беше публикуван от мен.

[Wise]

Ако каката е с пореден номер 120 какво става?


Нека оставим самолета на мира и пътуваме с такси - само 4 места за пътници.
Пътниците си имат номерца и водачът на таксито настанява произволен пътник /без вас/ на предната седалка.
Останалото е същото!
Решете задачата с това условие!

[MitkoS]

Броя на "неблагоприятните" го изкарвам 2^(119-N) ("две на степен (119-N)")

Добре де, това изречение ще го коригирам така:
Ако N<120, то броя на "неблагоприятните" го изкарвам 2^(119-N) ("две на степен (119-N)")
Ако N=120, то броя на "неблагоприятните" е 0 - аз съм каката но съм седнал на моето си място (ако искаш може и 1, защото каката е седнала на моето място ... въпрос на дефиниция)

А формулата лесно се проверява (на ръка), че е вярна за N=119, N=118
и N=117 (N=117 е точно твоя пример с таксито)

[Wise]

Хех, че какво общо има таксито с числото 120??

[tonych]

тъкмо започна да става интересно със самолета и той изчезна...
аз си мисля за следното:
каката е първа тя може да седне на едно от 120-те места
   - ако си седне на своето(1/120),то аз със сигурност си сядам на моето
   - сяда на моето - лошо играта приключва
   - сяда на мястото  на някой от пътниците(тук става интересно)
   вероятността точно този пътник да е след нея е 1/118 аз съм си последен по условие
   на него му се налага да избира измежду 119 места между които и моето( очевидно, ако продължава така моят шанс ще намалява)
   сяда на мястото на друг пътник(1/119)
   вероятността този пътник да е следващ е 1/117 и т.н.
 вероятността да си седна на моето място ще е най-малка, ако всички от опашката са имали право да избират произволно място(защото тяхното е било заето)и точно тя трябва да се изчисли
според мен става въпрос за условни вероятности и си нямам и най-малката представа как трябва да се изчислят

[MitkoS]

Силно подозирам, че се получава следната заблуда (ДОБАВКА: в главата на автора):
1. Проверка на ръка за N=119 - очевидно вероятността е 1/2.
2. Проверка на ръка за N=118:
 благоприятни = 2
 неблагоприятни = 2
 всички възможни = 2+2 = 4
 вероятност =  благоприятни / всички възможни = 2/4 = 1/2 (пак 1/2)
3. Проверка на ръка за N=117:
 благоприятни = 4
 неблагоприятни = 4
 всички възможни = 4+4 = 8
 вероятност =  благоприятни / всички възможни = 4/8 = 1/2 (пак 1/2)
4. И понеже дотук все получаваме 1/2, то с лека ръка решаваме, че за всяко N е 1/2
Именно това е заблудата - неправилното обобщение че за всяко N е 1/2
5. Щото ако продължим проверката на ръка за N=116:
 благоприятни = 7
 неблагоприятни = 8
 всички възможни = 7+8 = 15
 вероятност =  благоприятни / всички възможни = 7/15 (вече не е 1/2)

ПП. Ако се прехвърлим на таксито, заблудата изглежда така:
1. При двуместно, триместно и четириместно такси, на ръка установяваме, че вероятността е 1/2. И машинално решаваме, че е 1/2 и за петместно, шестместно и т.н.
2. Но ако продължим с проверката на ръка за петместно такси, ще видим че вероятността е 7/15, а не 1/2

[Wise]

тъкмо започна да става интересно със самолета и той изчезна...
аз си мисля за следното:
каката е първа тя може да седне на едно от 120-те места
   - ако си седне на своето(1/120),то аз със сигурност си сядам на моето
   - сяда на моето - лошо играта приключва
   - сяда на мястото  на някой от пътниците(тук става интересно)
 

какво става тогава?

[MitkoS]

Току-що пак четох условието. Как точно да го тълкуваме това:
" ... На една от пътничките и прилошава ... "  ?
 
Защото всичко което съм написал до момента, е за случая:
" ... На една от пътничките и прилошава в момента в който идва нейния ред за сядане ... "

[Wise]

Току-що пак четох условието. Как точно да го тълкуваме това:
" ... На една от пътничките и прилошава ... "  ?
 
Защото всичко което съм написал до момента, е за случая:
" ... На една от пътничките и прилошава в момента в който идва нейния ред за сядане ... "

Има ли значение? Не мисля.
Пътниците ше се настанят до нейното място / ако има конфликт/

[MitkoS]

Има значение в следния смисъл:
N-тия пътник тъкмо ще сяда (N-тия не е непременно нашата кака)
Ако каката вече е седнала и тогава прилошава, то броя на оставащите свободни столове е един, а ако още не е седнала, броя на свободните столове е друг.

Ще я преправя по-горната формула (малко по-късно), като няма да разглеждам (във формулата) номера N на каката, а броя M на свободните столове след като на нея и е прилошало и вече е настанена на "най-близкото свободно място".
Продължавам обаче да твърдя, че формулата е вярна и в сегашния и вид при предположението, че на каката и прилошава в момента в който идва нейния ред за сядане

[Bibi]

Я, самолевче!
Още не съм изчела какво сте писали, но ще си позволя да попитам.
Ако каката дойде късно, примерно последна. И нейното място е много далече. Стюардесата ще помоли ли най-близко седналия (напр. мен) да й отстъпи? Понеже в реалността това става.

[MitkoS]

Я, самолевче!
Още не съм изчела какво сте писали, но ще си позволя да попитам.
Ако каката дойде късно, примерно последна. И нейното място е много далече. Стюардесата ще помоли ли най-близко седналия (напр. мен) да й отстъпи? Понеже в реалността това става.

"... настанява на най-близкото свободно място ..."

[tonych]

блондинката е права
ако каката седне на мястото на някой от пътниците то този пътник има един добър ход  да седне на мястото на каката , един лош да седне на моето
и един при който поставя следващия пътник(със заето място) при същия избор

[Wise]

блондинката е права
ако каката седне на мястото на някой от пътниците то този пътник има един добър ход  да седне на мястото на каката , един лош да седне на моето
и един при който поставя следващия пътник(със заето място) при същия избор

Точно това е логическото решение на задачката!

Нека имаме n свободни места в момента на настаняване на болната кака.
Ако се улучи на мястото си - печелим, ако седне на някое друго/не наше/ място - решаваме същата задачка за по-малък брой пътници, защото имаме нова "болна кака". Или вероятността да си седнем на мястото е:

Vn = 1/n x ( 1 + Vn-1 + Vn-2 + ....... + V2 )

лесно се вижда, че

Vn+1 = 1/(n+1) x ( 1 + Vn + Vn-1 + ...+ V2) = 1/(n+1) x ( Vn + nVn) = Vn = 1/2

[MitkoS]

Бях се засилил да ви опровергавам, като разпиша за 5 свободни места.
И ... срам не срам, открих си грешка. (Трябва да се върна във втори клас, за да науча колко е 1+3+3+1)

Язък за хубавата таблица ("само със събиране"), пак няма да ви я покажа.

[dmitankin]

А аз се оказах блондинката, която не чете внимателно условието. Изречението "След това предупреждава
останалите пътници, че ако мястото им е заето, да сядат на произволно свободно място" го прочетох "След това предупреждава
останалите пътници да сядат на произволно свободно място" и през цялото време се чудех какво й обсъждате на задачата 

[Bibi]

Много ми харесва решението на tonych.
Обаче то е вярно само в случаите, когато каката е пристигнала преди мен.
Иначе излиза повече.

[MitkoS]

Е да де, ама в условието е казано:
"Вие сте последен/на на опашката"

[SetCombG.com Forum]