Задача №36

Моля първо да ме извините за забавеното постване на тази задача, но имах много големи проблеми с компютъра си (NIS 2005), много лошо нещо се оказа. Също така се извинявам предварително, че не успях да кача някъде и скицата която направих към тази задача.



Задача №36:

Търговец от еврейски произход много обичал числото 7. Той искал винаги всичко около него да е свързано с това число. Като обикновен търговец през повечето време той продавал стоката си на един пазар. Той притежавал обикновен кантар с 2 рамена, на всяко рамо имало по един тас в които можело да бъдат слагани тежести или стока. Както си седял един ден се замислил колко хубаво би било ако разполага само с 7 тежести (теглилки, топуза) с който да е в състояние да претегли стоката си, която тежала винаги не повече от 1 кг. Стоката също така трябвало да бъде претеглена с точност до 1 грам.

<tt><font size="3"><font face="Courier New"><font face="Courier New">

. . . . .---------------------

. . . . /\ . . . . | . . . . ./. . . / . .\ . . . | . . . ./. . . . / . . . .\ . . | . . ./. . . . \ . . . . . . . . . . . _

. .----------- . . | . . ------------. . . . . _. . . . . |х| . . 7 тежести общо

. . . . . . . . . |||. . . . . . . . . . ._ . |х|. . . . .|х| . . да теглят 1кг.

. . . . . . . .--------- . . . . . . . . .|х| |х| ....... |х| . . с точност 1грам

</font id="Courier New"></font id="Courier New"></font id="size3">

</tt>

И така, възможно ли е само с 7 тежести да бъде осъществено претеглянето на такъв кантар на стока с тегло до 1 килограм и с точност на претеглянето до 1 грам? Ако е възможно, то с какво тегло трябва да са тежестите и как следва да бъде осъществено претеглянето?

Не се позволява използването на вече претеглена стока като тежест. На кантара могат да бъдат поставяни само тежести (теглилки) и стока която да бъде претеглена.

Седемте теглилки имат следният грамаж:



1, 3, 9, 27, 81, 243, 636 грамове! (сборът на всичко е 1000 гр.)



Използваме формулата [(a1 + a2) . 2] + a1, където от а1 до а7 са съответните грамове.



Използвайки и 2-те везни на кантара, той може да премери стока с точност до 1 грам в диапазона 1 - 1000 грама.

Възможно е.



1

3

9

27

81

243

729



Всяко число в тази редица се получава като сумата на предходните числа в редицата се умножи по 2 и после се добави 1.



Пример: 27=(1+3+9)*2+1



Доказателство - довечера.

Доказателството е, че може да се използва троична бройна система, леко модифицирана, защото се работи с цифрите -1, 0, 1 вместо 0, 1, 2.

По този начин със седем цифри може да се опише точно диапазона от -1093 до 1093.

Според мен отговора е следния:

Използва се както каза и barnie модифицирана троична бройна система от вида

<font color="red">(-1,0,1)</font id="red">, която описва множеството между - 1093 и 1093. Стойностите на тежестите се определят по степените на 3:

а1=3^0=1

а2=3^1=3

а3=3^2=9

а4=3^3=27

а5=3^5=81

а6=3^6=243

а7=3^7=729

Тогава:

1=0000001

2=000001-1

3=0000010

4=0000011

5=00001-1-1

6=00001-10

7=00001-11

и т.т.н.

Ако сложим стоката в лявата страна на везната, тежестите, съответстващи на разряд с +1 поставяме в дясната, а тези, съответстващи на разряд с -1 - в лявата.

След като прегледах отговорите до момента, трябва да призная че първи е отговорът на IvO_tm , той е абсолютно верен за теглата на тежестите, но честно казано аргументацията на отговора е малко слаба. Не е казано как точно се е стигнало до формулата. Тя, би могла да бъде пресметната малко повече, ако се смята по този начин би трябвало да бъде нещо от вида: a_i+2 = [(a_i + a_i+1) . 2] + a_i = 3a_i + 2a_i+1) , и като освен тази рекурентна връзка се отчете и че a₁ = 1 (очевидно, защото трябва да може да се претегли и 1 грам), би могло да се пресметне че a_i = 3^i-1, за i>=1, i естествено число, от там и троичната бройна система. Но, това вече е повече математика.

Истинската идея на задачата пръв постна barnie, а Lupus допълни отговора, всъщност Lupus първи обоснова отговора си изцяло.

Така, че честно казано не знам какво да предложа за точкуването на тази задача. Прегледах новите правила от днес, според т.7 би следвало IvO_tm да получи 2 точки, защото е писано " (+/- аргументация) ", т.е. независимо от аргументацията, ако го тълкувам правилно.

Според мен, по правилно би било IvO_tm да получи само 1 точка и право да представи следващата задача, понеже отговорът не е съвсем аргументиран и не е достигната същността на задачата, но теглата на тежестите са верни; както и Lupus да получи 1 точка за първия подробен и изчерпателен отговор.

Оставям решението на модераторите и администраторите.



П.С. Не помня вече къде четох тази задача, само помня че с нея обясняваха на по разбираем език предимството на използването на тройчната бройна система при изчислителните машини, в сравнение с двойчната. Оптимална се оказваше бройната система с основа e=2.71878... (неперовото число), при нея се използваха най-малко единични побитови операции при изчисления. Доколкото си спомням първата ЕИМ работеща на основа тройчна бройна система беше руска и използва 3 вида ток за представяне на 3-те положения: в едната посока, в другата посока, и без ток.

<blockquote id="quote"><font size="1" id="quote"><b id="quote">quote:</b id="quote"></font id="quote"><table border="0" id="quote"><tr id="quote"><td class="quote" id="quote"><font size="1" id="quote">Прегледах новите правила от днес, според т.7 би следвало IvO_tm да получи 2 точки, защото е писано " (+/- аргументация) ", т.е. независимо от аргументацията, ако го тълкувам правилно.</td id="quote"></tr id="quote"></table id="quote"></blockquote id="quote"><font size="2" id="quote"></font id="quote">



Правилото не е изтълкувано вярно или ние не сме го обяснили достътачно добре.

+/- аргументация да се разбира - При необходимост от аргументация, то тя е задължителна, освен в случайте, когато авторът изрично е упоменал, че такава не е нужна. Във втория случай всеки отговор без аргумент се счита за правилен и се ползва с предимство пред всеки друг след него с наличие на аргумент.



Освен това! Никъде в правилата не е казано, че е задължителна изчерпателната аргументация. написано е, че участникът трябва да покаже по някакъв начин пътя по който е достигнал до отговора, за да се елиминира вероятността на налучкване.

По тази причина смятам, че в този случай IvO трябва да си получи 2-те точки. Както вчера Малоун награди теб с толкова, въпреки, че не беше доволен от аргумента нацяло.

Хей, разбрахме се нещо!!! Аз не съм нито висшист, нито математик! Какви са тези формули, бре?! И как по пътя на логиката бих достигнал до този отговор за тройчни бройни системи? Ще се караме вече... :-(



Sad Reader, моля те, оцени отново кой според трябва да спечели точките, но не ги разделяй между участниците! Само един участник трябва да спечели и да зададе следващата задача... иначе ще стане еднаааа...



[:)]

IvO_tm, всъщност до тройчната бройна система се стига с разсъждения, не със сметки, това което води до нея е идеята че можеш да слагаш тежести и на другата страна на кантара, т.е. тежеста да се брой за отрицателна, тогава вариантите са -1 , 0 и 1 за всяка тежест, от там и тройчната бройна система.

Извинявайте за идеята за разделянето на точките, може би ми е повлиял опита от едно време.

ОК, нека приемем IvO_tm за дал правилния отговор.

Така че той получава 2 точки за дал първи отговор в първи пост.

Очакваме следващата задача от IvO_tm.

<blockquote id="quote"><font size="1" id="quote"><b id="quote">quote:</b id="quote"></font id="quote"><table border="0" id="quote"><tr id="quote"><td class="quote" id="quote"><font size="1" id="quote">Хей, разбрахме се нещо!!! Аз не съм нито висшист, нито математик! Какви са тези формули, бре?! И как по пътя на логиката бих достигнал до този отговор за тройчни бройни системи? Ще се караме вече... :-(



<div align="right">Originally posted by IvO_tm*-*29/09/2004*:* 17:28:22</div id="right">

</td id="quote"></tr id="quote"></table id="quote"></blockquote id="quote"><font size="2" id="quote"></font id="quote">

@IvO_tm,

Аз не виждам как по логически път може да се достигне до тези числа. Това си е математическа задача и доказателството на решението може да се направи само с помощта ма натематиката.

Обясни твоята логика, чрез която достигна до числата и че те са достатъчни да се изрази всяко число от 1 до 1000. В твоя отговор аргументацията просто липсва!

<font color="red">//edit</font id="red">

PS Когато постнах това, не знаех още, че Sad Reader е обявил крайната победа. Приемам факта, за да не се създава лош прецедент.

Lupus, аз съм човек с елементарни познания и достигнах до отговора чрез достатъчно "набиране" на бутоните на калкулатора, по метода на пробите и грешките. В последствие забелязах зависимостта на числата и както виждаш - формулата ми е като "изсмукана от пръстите". :-) Не съм твърдял, че съм прав. Но имайки предвид вчерашната задача на Малоун, и едни стари, почти избелели спомени... реших на понаправя малко опити и така достигнах до отговора. То е нещо като... нали знаеш - 2 + 2 = 4, но 1 + 1 + 2 също е = 4.



Sad Reader, благодаря ти за правото да задам следващата задача. Понеже утре ще излизам рано сутринта и няма да се прибера до ранния следобяд, ще постна новата задача в 19:00 ч. тази вечер!