Задача 106 (13-те прави и шахматната дъска)

Разполагате с шахматна дъска със стандартните размери 8 х 8. На всяко поле е отбелязан центъра му. Може ли с 13 прави прекарани през дъската, както намерите за удачно, тя да бъде така разделена на части, че във всяка част да лежи не повече от един от тези центрове?

Според мен не може.

13 прави разделят дъската на максимум 56 части.

Освен ако не е разрешено права да минава през някои от центровете.

Правите могат да минават само покрай центровете на полетата, защото искаме те да са вътрешни за частичките.

Почвам с опит за опровержение на Биби, което ще се третира евентуално като жокер, ако успея[:)]

@Bibi,

'каке', ще трябва да ми кажеш как си сметнала, че не може да се раздели на не повече от 56 части дъската, защото аз нещо не съм убедена...(просто не мога да начертая 'опровержението', а се мъча от два часа и затова трябва да знам аргументите ти, че сега е много патова ситуацията за мен [:)])



/EDIT

Ето контрапример на доказателството на <font color="navy">Биби</font id="navy">, което е и своеобразния и обещан жокер:

Нека 13те прави се пресичат така, че всеки две от тях имат точно по една обща точка, която е и вътрешна за дъската. Това означава, че върху всяка права има 12 от тези точки (общо те са 78=С²₁₃). Нека номерираме за яснота правите - от 1ва до 13та и започнем с разсъжденията върху първа: върху нея има 11 отсечки, образувани от пресечните и точки с другите 12 прави, които отсечки ще разглеждаме като страни на триъгълници, чиито срещуположни върхове са пресечните точки на двете прави, които пресичат права 1. Така за права 1 се получават 11 триъгълника. Аналогични разсъждения водим за права 10, 9 и т.н. до 3та права включително, защото първа и втора вече няма с кого да образуват триъгълник (неповтарящ се). Сумата е сума на аритметична прогресия :11+10+9 +...3=9*(11+3)/2=63, което си е повече от 56 при всички положения. Така, само ще отбележа, че не разглеждам изобщо фигурите, образувани от пресечните точки на правите със страните на дъската, тоест има и още части, на които дъската е поделена, тази сума е само опровержението, това и първия жокер, нататък сте вие [8D]

Не, не е възможно:

1. Разглеждаме контурните квадратчета - тези, които образуват границите на шахматната дъска.

2. Във всяко от тези квадратчета избираме по една точка, която е външна за центъра на квадратчето.

3. Свързваме тези точки с отсечки и получаваме многоъгълник с 28 страни.

4. Всяка права, прекарана през многоъгълника може да премине през максимум 2 страни.

5. От условието и т. 4 следва, че 13 линии ще пресекат многоъгълника през най-много 26 страни.

6. От т. 5 следва, че поне два центъра на квадратчета ще лежат в един и същ сегмент.



Ако отговорът ми бъде приет за верен, предварително се извинявам, но наистина ми е доста натоварено в тези дни и нямам възможност да задам задача [:(]. Затова моля някой друг да направи това.

Докато аз се морих да давам контрапримери, Raid я е решил [:D]

За по-голяма прегледност давам чертеж, като изрично подчертавам, че не само не е нужно точките да не съвпадат с центровете - напротив, решението е именно свързване на центровете с 28 отсечки, две от които няма как да бъдат пресечени от 13те прави и 4 центъра остават два по два в едни зони. (но решението на Raid е съвсем редовно, просто е по-малко прегледно)

http://krusteva.hit.bg/Zadacha%20106.jpg



/Остава открит въпроса кой да даде следващата задача. Нека който има желание и нещо наум да не се стиска, а утре да ни зарадва [:)]

Мдааа... Така, както го рисуваш, наистина е доста по-ясно. Ама и аз не знам как съм чел предишния ти пост, та съм решил и контурът да в външен [:)].

аз ще задам задача около 10