Преглед за печат
Хайде и аз един път да дам нещо като математика, че ми се е дощяло [:)]
Дадени са няколко точки А<sub>1</sub>, А<sub>2</sub>, ... ,А<sub>n</sub>, за които се знае, че са средите на страните на n-ъгълник. Как най-лесно да се построи многоъгълника?
Има ли значение броят на дадените точки?
Изпъкнал ли е?
Не съм сигурна, че това има значение.
Но, ако някъде те бърка, приеми, че е изпъкнал.
Не че ме бърка, ама да се отвори приказка, събота е, ако не клюкарстваме какво друго! Приемамм, че е изпъкнал [:D]
За триъгилник (n=3) въобще няма да говоря, защото решението е тривиално и единствено. Но ще покажа, че за четириъгилник (n=4) решението не е единствено.
http://xs28.xs.to/pics/05191/Zad_Mejdinna_sredi.gif
Имаме дадени точките М, N, P, Q такива, че са среди на четириъгълника ABCD. Лесно се вижда, че MNPQ е успоредник - MN e средна отсечка за триъгълника ABD => успоредна на DB, както и QP - средна на DBC => успоредна на DB => MN || QP и понеже и двете са средни срещу BD => = 1/2BD => MN = QP => MNPQ е успоредник.
Построявам успоредника М'N'Q'P' такъв, че да е подобен на MNPQ и M'N' = 2MN, както и M'N' || MN. забележете, че точка M' е избрана произволно. Построявам правите М'М, N'N, P'P и Q'Q - всички те се пресичат в точка K. Може да се докаже от триъгилниците M'KQ' и M'N'K на които съответно MQ и MN се явяват средно отсечки.
През точка K построявам правите AC и BD съответно успоредни на M'Q' и M'N'. Да разгледаме М'AKD. Той е узпоредник с диагонали AD и М'K => т.М e среда на AB. Аналогично N, P и Q са среди съответно на AB, BC и CD. => ABCD е четириъгълник чийто среди на страните му са точките М, N, P и Q.
Сега да се върнем на избора на точка M'. Той беше произволен. => е възможно построението на неограничен брой четириъгилници по подобна схема и те няма да са еднакви (лесно се вижда, ако
"попреместим" M' малко наляво [;)] - не ми се доказва).
Та: за n-ъгълник не знам, но за четириъгилник решението не е единствено.
Вярно е това, което казваш.
В случая за четириъгълник, ако изобщо съществува решение, съществуват и безбройно много такива.
А дали са нула или повече, зависи от едно простичко условие [xx(]
например да няма три точки на една права:)
Нека имаме една произволна точка О. Нека a<sub>i</sub> са векторите ОА<sub>i</sub>, a p<sub>i</sub> са вектори OP<sub>i</sub>, където P<sub>i</sub> са търсените върхове на многоълника. Тогава:
p<sub>1</sub>+p<sub>2</sub> = 2a<sub>1</sub>
p<sub>2</sub>+p<sub>3</sub> = 2a<sub>2</sub>
.
.
p<sub>n-1</sub>+p<sub>n</sub> = 2a<sub>n-1</sub>
p<sub>n</sub> + p<sub>1</sub> = 2a<sub>n</sub>
Получава се една система уравнения, която можем да решаваме чрез заместване
p<sub>2</sub> = 2a<sub>1</sub>-p<sub>1</sub>
p<sub>3</sub> = 2a<sub>2</sub>-p<sub>2</sub> = 2a<sub>2</sub>-2a<sub>1</sub>+p<sub>1</sub>
p<sub>4</sub> = 2a<sub>3</sub>-p<sub>3</sub> = 2a<sub>3</sub>-2a<sub>2</sub>+2a<sub>1</sub>-p<sub>1</sub>
.
.
p<sub>n</sub> = 2a<sub>n-1</sub> - p<sub>n</sub> = 2a<sub>n-1</sub> - 2a<sub>n-2</sub> + 2a<sub>n-3</sub> -... + p<sub>1</sub>*(-1)<sup>n-1</sup>
p<sub>1</sub> = 2a<sub>n</sub> - p<sub>n</sub> = 2a<sub>n</sub> - 2a<sub>n-1</sub> + 2a<sub>n-2</sub> -... - p<sub>1</sub>*(-1)<sup>n-1</sup>
От последното уравнение се вижда, че при n четно, уравнението се свежда до
p<sup>1</sup> = 2a<sub>n</sub> - 2a<sub>n-1</sub> + 2a<sub>n-2</sub> -... + p<sub>1</sub>
или
0 = a<sub>n</sub> - a<sub>n-1</sub> + a<sub>n-2</sub> -... + a<sub>1</sub>
което равенство ако е изпълнено, то системата има безброй решения, а ако не е - няма решение.
Ако n е нечетно - системата има едно уникално решение, където
p<sub>1</sub> = a<sub>n</sub> - a<sub>n-1</sub> + a<sub>n-2</sub> -... - a<sub>1</sub>
А веднага се вижда и метода за построяване на многоъгълника (при n нечетно разбира се). Избираме произволна точка О и събираме/вадим векторите a<sub>i</sub>, откъдето директно получаваме първата точка P<sub>1</sub> на многоъгълника. От там нататък е лесно - просто прекарваме права през получената точка и А<sub>1</sub>, нанасяме разстоянието, P<sub>1</sub>A<sub>1</sub> от A<sub>1</sub>
до получаване на P<sub>2</sub> и така нататък.
За n четно - първо проверяваме дали сбора/разликата на a<sub>i</sub> е нула (т.е. вектор ОО) и ако е така, то си избираме една
произволна точка P<sub>1</sub> от която по горния начин построяваме един от многото многоъгълници.
Забележка: най-лесно е да изберем т. О=А<sub>1</sub> [;)]
Съвсем вярно и изчерпателно! [:)]
А ето и нещо, базирано на същите разсъждения, но създавайки с тях малко по-различен алгоритъм:
Избираме си произволна точка и започваме от нея да намираме следващата, през първата среда, после трета през втората среда и така докато стигнем до n-тата точка.
Ако първата и последната точки съвпаднат, значи сме си решили задачата.
Ако не - гледаме колко са били дадените точки.
- за четни: веднага казваме, че задачата няма решение и отиваме да дешифрираме загадката на Edin_Lud [;)]
- за нечетни: намираме средата между нашите помощни "начало" и "край".
Тя (тази среда) е първият връх на търсения многоъгълник.
От него лесно построяваме следващите върхове.
<blockquote id="quote"><font size="1" id="quote"><b id="quote">quote:</b id="quote"></font id="quote"><table border="0" id="quote"><tr id="quote"><td class="quote" id="quote"><font size="1" id="quote">
- за нечетни: намираме средата между нашите помощни "начало" и "край".
Тя (тази среда) е първият връх на търсения многоъгълник.
От него лесно построяваме следващите върхове.
<div align="right">Originally posted by Bibi*-*09/05/2005*:* 17:26:09</div id="right">
</td id="quote"></tr id="quote"></table id="quote"></blockquote id="quote"><font size="2" id="quote"></font id="quote">
Т.е. - задачата се свежда до построяване на (n+1)-ъгълник, чийто n среди знаем, след което може да се каже, че построяваме още един (n+1)-ъгилник (с вече известни n+1 среди), ама със една страна с дължина 0 (тази при новооткритата средна точка), което си е направо търсения n-ъгълник. [;)]