Вземате цифричките от 0 до 9 и започвате да ги нареждате една по една, отляво - надясно.
Условието е - всеки път полученото число да се дели на броя на цифрите си без остатък.
Какво получихте накрая?
Преглед за печат
Вземате цифричките от 0 до 9 и започвате да ги нареждате една по една, отляво - надясно.
Условието е - всеки път полученото число да се дели на броя на цифрите си без остатък.
Какво получихте накрая?
3816547290
Това е много яка задача, и то само с 1 отговор! Все си мислех че има поне още 1, ама няма...
Да, и аз първоначално мислех, че са повече.
После ще разкажа как я минах задачата, за да споделите има ли начин да се оптимизира още.
И аз стигнах до единствено решение 3816547290.
Карам си по хамалския начин (не виждам друг), като си ползвам това.
1. Веднага се вижда, че на 10-та позиция (най-дясната) е 0, а на 5-та е 5
2. За 9-та - каквото остане защото сумата на цифрите от 1 до 9 е 45 и се дели на 9
2.1 На 2-ра, 4-та, 6-та и 8-ма задължително има четни цифри ==> на 1-ва, 3-та, 7-ма и 9-та са нечетни
3. За 4-та и 6-та позиция - заради деленето на 6, то сумата от числата на 4-та, 5-та и 6-та трябва да се дели на 3 и затова дотук имаме следните четири възможности:
***456***0
***654***0
***258***0
***852***0
4. На 2-ра, 4-та, 6-та и 8-ма имаме четни цифри ==> на 3-та имаме нечетно
И заради деленето на 4, изхвърляме две от горните и ни остават следните две възможности:
???258!!!0
???654!!!0
5.1. Да предположим, че търсеното число е от вида ???258!!!0
Тогава на мястото на ??? и !!! можем да имаме само някоя от следните "тройки" - 147, 741, 369, 963
(Защото заради деленето на 3 и на 9, трябва сумата от цифрите в ??? да се дели на 3, а също и сумата от цифрите в !!! да се дели на 3)
Сега, заради деленето на 8, виждаме, че на мястото на !!! едиствено пасва тройката цифри 963
т.е., числото трябва да е
???2589630
И понеже 1472589 не се дели на 9, нито пък 7412589 се дели на 9, то предположението, че числото е от вида ???258!!!0 отпада
5.2. И тъй като ???258!!!0 отпада, то ако съществува число отговарящо на изискванията,
то то ще е от вида ???654!!!0
Мързи ме да пиша нататък ... правим същото като в 5.1., само че с повечко на брой тройки цифри и виждаме, че две тройки отговарят на изискването за делене на 8, а пък после от тия две, само една става за изискването за делене на 7
---------------------
Тия дни се преборих със следната задача :
Намерете последните две цифри на 7^7^7^7^7^7^7
("7 на степен 7 на степен 7 на степен 7 на степен 7 на степен 7 на степен 7 " - седем броя седмици една след друга, всяка следваща е степен на предходното число)
Та на който му е интересна, може да се пробва.
То и моят начин е почти същия, даже до 4-та точка вкл. си е баш същия, а натам само реда на разсъжденията е друг. Опитвах се да включа и някой от критериите за деление на 7, но не успях, та последните 4 случая ги решавах с обикновени проверки. Т.е. същото.
Само не знам защо при теб последните варианти излизат повече.
Числото е ?8? 654 32х 0 или ?8? 654 72х 0 понеже 6-тата, 7-мата и 8-мата трябва да се делят на 8...
Задачата със седмиците - според мен трябва да е 43.
7 е хубаво число, защото 49 е почти 50. А това дава много бързо зацикляне на последните 2 цифри. Ето:
7^(4k) ~ 1 (mod 100)
7^(4k+1) ~ 7 (mod 100)
7^(4k+2) ~ 49 (mod 100)
7^(4k+3) ~ 43 (mod 100)
Значи ни вълнува колко е остатъка по mod 4 на степента.
Но понеже делението на 4 зависи само от последните две цифри, то онова, което написах по-горе ще послужи и за него:
7^(4k) ~ 1 (mod 4)
7^(4k+1) ~ 3 (mod 4)
7^(4k+2) ~ 1 (mod 4)
7^(4k+3) ~ 3 (mod 4)
Степента със сигурност е нечетна, значи остатъкът й по mod 4 е 3 (четните дават 1).
А това 3 ни сочи последния ред от първата група горе, т.е 43.
Разрешаваш ли ми да изплагиатствам това изречение и да го сложа като подпис в профила си:
"7 е хубаво число, защото 49 е почти 50" ?
Не знам защо, но тази задача е известна като nine digit number.
Аз си позволих да добавя една нула, защото внася пълнота.
Питайки гугълчето за числото/9-цифреното/ ще попаднете на много страници с решения.
ето и някои идейки, а и други задачки:
http://www.usamts.org/Tests/us1104s.pdf
и само да ви напомня - имаме още нерешени задачи!!!
предлагам да не слагаме нови, докато не ги решим!
https://forum.setcombg.com/index.php/topic,43283.0.html
Опитах да направя малка комп. програма, за да проверя има ли и друга подредба на цифрите, която е решение на задачата. За да намаля броя на циклите, се вгледах по-внимателно и видях, че на осмо място може да стои само 2 или 6, защото числата 14, 18, 34, 38,74, 78, 94 и 98 не са кратни на 8. Това и написаното от MitkoS и Bibi ме накара да зарежа програмирането и превключих на ръчна. Дълго е за обяснение, но няма друда подредба...
Що се касае до втората задача:
7^7^7^7^7^7^7 = (7^7)^(7^7^7^7^7)=(7^7)^16807=823543^16807
От друга страна лесно се вижда, че последните две цифри на основата (те са важни при степенуването), се повтарят след всеки 4 множителя:
...43*...43 = ...49
...49*...43 = ...07
...07*...43 = ...01
...01*...43 = ...43
Тоест, на 43 завършват степените на 7^7 с показател 1, 5, 9, 13, ...., 16801, 16805. Това би трябвало да означава, че отговорът е 01. :huh:
ПП По просто решение:
7^7^7^7^7^7^7 = (7^7^7)^(7^7^7^7)
С горните разсъждения 7^7^7 завършва на 01. Повдигнато на каквато и да е степен, пак завършва на 01.
@MitkoS,
Подарявам ти го онова изречение, но то е по-скоро даоистко, отколкото математическо. :)
Просто исках да кажа, че последните 2 цифри на (50-1)2 се смятат по-лесно от 492.
Но те моля да кажеш колко е остатъка, понеже имаме варианти за отговора.
@Wise,
Онези решения в линка не са по-кратки, само са по-нагъсто описани.
А нерешената задача от време на време я мъча, но не ми спори.
@Pitagorvd,
Това равенство не е вярно:
7^7^7^7^7^7^7 = (7^7)^(7^7^7^7^7)
По принцип се смятат отгоре надолу, т.е. ако няма скоби се разбира това:
7^7^7^7^7^7^7 = 7^(7^(7^(7^(7^(7^7)))))
Е, това, разбира се, променя нещата... Изглежда, много неща съм забравил... :(
И други неща си забравил:
(7^7^7^7^7) не е 16807
Обаче 7^5 е 16807
Слушай я Bibi и и вярвай на решенията, когато става въпрос за такива задачи. Пък и не само за такива.
Не искам да се заяждам, но никъде не съм написал, че 7^7^7^7^7 е 16807. Това просто е (грешно или не) приложение на правилото за степенуване на степен. И нямаше да пиша сега, ако не бях подложил на съмнение думите ти. Проверих при Visual Basic и Excel с простата команда: напиши 7^7^7 и 7^49. И на двете места резултатът бе един и същ - 2,56924Е+41. Когато обаче вместо 7^7^7 написах 7^(7^7) - Visual Basic веднага ми даде препълване, а Excel-а не прие формулата. Така че е възможно да не съм забравил чак толкова много... :)Цитат:
Първоначално публикувано от MitkoS
Мите, не плаши хората с мен - от много години не съм се занимавала с математика, освен тук.
Иначе: във почти всички програмни езици, за които знам, когато има операции с еднакъв приоритет, те се изпълняват отляво надясно.
Правилото за композиция при степенуването може да се намери из нета, например тук:
http://en.wikipedia.org/wiki/Exponen...and_properties
Пфф, как съм изпуснала...