Банички

Баничарница. Баничките са по 1 лев.
Започва работния ден. Касата е празна е продавачката няма никакви пари за да връща ресто.
Наредила се е опашка от 20 пенсионера и всеки от тях иска да купи точно една баничка.
Знае се, че 10 от тях имат монета от 1лв, а другите 10 имат банкнота от 2лв.
Но не се знае тяхната точна подредба в опашката.

Каква е вероятността продавачката да се разплати с всички клиенти безпроблемно (да може да връща ресто когато и дадат банкнота от 2лв) ?

ПП. Леко редактирах текста с цел да е по-ясно какво се търси.

Мина доста време от публикуването на задачата, да напиша нещо като подсказка, а ?

Текста на задачата подвежда, че става въпрос за суха математика. Всъщност може и да може с някакви формули от математиката (вероятности) да има някакво решение наготово.

Обаче задачата допуска поне едно решение, при което на преден план са прости разсъждения и малко логика как точно да преброим броя на подредбите в опашката, при които продавачката може да върне ресто на всички с 2лв (когато дойде техния ред) - да ги наречем "безпроблемни нареждания".
А пък сухата част и готовите формули да ползваме единствено за общия брой възможни нареждания на опашката, който ако не бъркам нещо, е:
20!/(10!.(20-10)!) = 184756

Та така, с разсъждения и логика търсим броя на "безпроблемните нареждания", а пък после вероятността ще я изчислим така:
вероятност = (брой на "безпроблемните нареждания") / (общия брой възможни нареждания на опашката)
т.е.
вероятност = (брой на "безпроблемните нареждания") / 184756

22596 са добрите подреждания... според мен :)
може и да съм се отклонил с няколко( надявам се не с много),по късно ще проверя още веднъж

Цитат:

---

Първоначално публикувано от tonych

22596 са добрите подреждания... според мен :)
може и да съм се отклонил с няколко( надявам се не с много),по късно ще проверя още веднъж

---

Ами според мен си объркал сметката. Ако искаш напиши как стигаш до тази цифра да търсим грешката заедно (може пък и аз да бъркам в сметката).

Нещо не върви тая задача :huh:
Дали да не променим условието така:
- Да намалим броя на хората в опашката на 10 (5 с по 1лв и 5 с 2лв).
- Също така, да забраним операцията "умножение" и да оставим само операцията "събиране".

Подсказка:
Забраняваме умножението и при изчислението на общия брой възможни нареждания на опашката.

ПП. "Задача 79" много прилича на тая, ама не е същата

ПП2. На който му е по-добно, нека да си кара по първоначалното условие. Далеч съм от мисълта, че тая задача може да се реши само по един начин.

ще внеса известна корекция... този път факториелите ги смятах на калкулатора на уина не на ръка
а ето и идеята ми:
12 две възможни комбинации една добра 12 и една не 21 съотношение 50/50 или 1/1 - два пенсионера
1122 шест комбинации две от нашите 1122 ,1212 и четири от неправомерните 2211, 2121,2112,1221 съотношение 2/4 или 1/2 - 4 пенсионера
111222 тук вече не смятам да ги разписвам мисля, че е ясно получава се съотношение 5/15 или 1/3 - 6 пенсионера
11112222 14/56 1/4 - 8
1111122222 42/210 1/5 - 10
111111222222 132/792 1/6 - 12
11111112222222 429/3003 1/7 - 14
1111111122222222 1430/11440 1/8 - 16
111111111222222222 4862/43758 1/9 - 18
11111111112222222222 16796/167960 1/10 - 20 пенсионера с 20 баници

в интерес на истината разписах комбинациите само до 8 надявам се да не съм се подвел :)

tonych,
От три дена се опитвам да докажа твърдението ти чрез индукция и не става и не става. Даже опитах и чрез "дедукция" - приемам го за вярно и по обратен ред си търся грешката в индукцията. Намерих я, но за съжаление е непреодолима. Поне не и за мен.

А самото твърдение (ти си го формулирал по-различно, но иначе е същото), е че при опашка от 2.n човеци, то търсената в условието вероятност е 1/(n+1). Това със сигурност е вярно за n по-малко или равно на 10, защото може да се провери на ръка (направил съм го), но за по-големи n, поне аз не мога да го докажа и твърдя.

Предлагам да я зарежем тая задача, прекалено много аритметика и математика се появиха.
Така както е зададен въпросът в условието, отговорът на задачата е 1/11.
Обещавам по някое време да напиша как става "само със събиране".

А да ! И още нещо към tonych - прието е под "вероятност" да се разбира отношението на "сполучливите изходи" спрямо общия брой изходи, а не както ти го разглеждаш "сполучливи"/"несполучливи".

вземам си бележка
мисля, че не оставам неразбран :)

Мина доста време, да кажа набързо, как става "само със събиране".
Много прилича на "Задача 79", но допълнително се вмъква и броене.

Имаме таблица 11х11
В началното положение сме в най-долния ляв ъгъл.
Като дойде купувач с 1 лев, се придвижваме една позиция нагоре, а като дойде такъв с 2 лева, се придвижваме една позиция надясно.
Независимо от реда на купувачите, винаги стигаме в горния десен ъгъл на таблицата, като според конретната наредба на купувачите нашето придвижване в таблицата описва някакъв път.
Дотук всичко е като в "Задача 79".

За да намерим търсената вероятност, трябва да успеем да преброим всичките възможни пътища в таблицата, които не "падат" под диагонала (ако падне, значи до момента са дошли повече купувачи с 2 лв, откоркото са минали с 1 лв). Тия пътища ще ги нарека "безпроблемните".

Нека за момент си представим, че във всяка клетка по диагонала и над диагонала е записан броя на безпроблемните пътища по които може да се стигне до тая клетка.

Сега трябва да съобразим следните три неща:

1. Очевидно, в най-лявата колона е записано числото 1, защото до всяка клетка в тази колона може да се стигне по един единствен път (т.е., идвали са само купувачи с 1 лев). В тая конкретна колона, всичките пътища са безпроблемни така или иначе. А какво ще запишем в най-долната клетка на тая колона е въпрос на дефиниция. На мен ми изглежда най-естествено там да запишем 0, а не 1.

2. В клетките по диагонала пише същото което пише в клетка отляво до тях (с изключение на най-долната лява където вече приех, че ще е 0). Защо ? Защото търсим само безпроблемните пътища, а те "идват" отляво. Ако дойдат отдолу, значи не са безпроблемни.

3. В клетките които са над диагонала и не са в най-лявата колона трябва да пише сумата на клетката отляво и клетката отдолу (това по принцип са всичките пътища до тая клетка - или ще се "дойде" в тая клетка отдолу, или ще е от ляво).

Тия съображения от 1 до 3, ни дават простичък алгоритъм, чрез който на ръка можем набързо да пресметнем броя на безпроблемните пътища за клетките над диагонала в таблицата. Започваме отдолу и отляво и клетка по клетка сумираме.
При таблица 11х11 и само със събиране за около 5 минути стигаме до най-горния десен ъгъл на таблицата и на практика сме изчислили общия брой безпроблемни пътища, което всъщност ни трябва.

ПП 1.
Най-важното е съображение 2. То ни гарантира че през цялото време броим само безпроблемните пътища.

ПП 2.
В Задача 79 се "движим" по решетката, а тук по клетките - все тая, реших да е по клетките, защото е по-прегледно (според мен) да пишем цифрите вътре в клетките, е не по рамката. И затова табличката е 11х11 а не 10х10.
А също така, там решетката е завъртяна на 45 градуса, но това няма никакво значение - просто на мен ми е по-лесно да описвам алгоритъма за "права" таблица, отколкото за завъртяна решетка.

ПП 3.
Хе-хе, никой не забеляза грубата грешка в Съображение 1.
Поправих я вече, не я търсете.

А също така, направих и картинка