Да се повъртим в кръг

Цитат:

---

Първоначално публикувано от Wise

Не съм сигурен, че това е минимума! /че е решение - спор няма/.
Би трябвало в 1 квадрант /откъдето тръгваме де/ да имаме уравнение на част от окръжност, допирателна към нея и отсечка до центъра на окръжността. На тази функция да търсим минимума/за дължината/.
Ама си е чиста математика....... :help

//не знам защо не ми дава да си редактирам предния пост, а трябваше нов да пиша

---

Опитай следното построение:
Първо, построяваме произволна допирателна към окръжността.
Второ, намираме точката, симетрична на центъра спрямо тази допирателна.
От тази точка спускаме допирателна към окръжността, свързваме пресечната точка
на двете допирателни с центъра. Доколкото може да се приеме, че правата линия е
най-късото разстояние между две точки - това е оптималният път за тръгване.
После въртим по окръжността докато за втори път попаднем на края на диаметъра,
успореден на първата допирателна и се спускаме перпендикулярно към нея.
Не е трудно да се докаже, че това пък е най-краткия път за пристигане.

F(x) = R[(pi/2 -2x) + 1/cosx + tgx + pi +1] (х е ъгълът под който тръгваме)
F'(x) = R[-2 +sinx/(cosx)^2 + 1/(cosx)^2]
F'(x) = 0
sinx + 1 = 2(cosx)^2 x=pi/6
1/2 + 1 = 2.3/4
3/2 = 3/2
т.е при х=pi/6 има екстремум!

Цитат:

---

Първоначално публикувано от Wise

F(x) = R[(pi/2 -2x) + 1/cosx + tgx + pi +1]
...
т.е при х=pi/6 има екстремум!

---

Е, накрая вместо (pi+1) трябваше (pi/2+y+cotg(y/2)), където y е ъгълът на пристигане.
Не е трудно да се открие минимум за y=pi/2.

Е, то завършекът с половин окръжност и радиус по допирателната едва ли има нужда от доказателство за минимум.
Единствено се притеснявах за ъгъла на тръгване - някак си странно беше да е точно 30 градуса.
Но се оказва, че е така - там има екстремум на функцията.

//ако някой драсне и чертежче ще е по-ясно
//втората задача не мога да схвана нещо - защо един квадрат около обекта да не става? / триъгълник не става/

Цитат:

---

Първоначално публикувано от Wise

//ако някой драсне и чертежче ще е по-ясно
//втората задача не мога да схвана нещо - защо един квадрат около обекта да не става? / триъгълник не става/

---

Лесно е да се види, че имаме правоъгълен триъгълник с хипотенуза 2R и малък катет R
(радиуса към точката на допиране) - значи си е 30 градуса.

[img width=445 height=600]http://prikachi.com/images/299/4974299k.jpg[/img]

---

//Квадрата с колко сензора се получава?

Направих сравнителни графики за няколко от предложените решения
(както и в предишната тема) с дължината на изминатия от заека път.
Приемам, че вълкът стартира отляво (на 9 часа)

http://dox.abv.bg/files/fdw?eid=87578682

Вариант 1 - по права до радиус 0.9R/4, после по окръжност до достигане на един диаметър, и пак по права
Вариант 2 - на 60 градуса или на -60 градуса зависи накъде се върти вълкът.
Вариант 3 - по спирала в опозиция до достигане на безопасна окръжност (0,215R) и после към брега
Вариант 4 (мой) - по същата спирала до достигане 0,125R и после в зависимост от посоката на вълка
под 1 rad или 1-pi/3 rad спрямо хоризонта.