Голямото надлъгване

Пускам задачката в четвъртък, щото не е петъчна:

Двама изпечени мошеници - Бил и Джо, решават да играят игра.
Правилата са прости: Хвърлят ези-тура със своя монета.
Ако се паднат еднакви, печели Бил: два пъти ези - 9 долара, два пъти тура - 1 долар.
Ако се паднат различни: Джо печели 5 долара.
Играта изглежда справедлива, ако не бяха мошеници. Всеки от тях е подготвил
своя монета, с която да играе - при нея отношението ези-тура може да е далеч от 1:1.
Естествено и двамата си нямат доверие, защото добре се познават.

Има ли печеливша стратегия и за кого от двамата?

Предвид това, че няма ограничения каква е стратегията и с какви средства се постига, давам очевидния верен отговор:

Да, има печеливша стратегия и тя е за по-добрия в стрелбата - застрелва другия и прибира парите.

Отговорът се приема!
:rolleyes:
Добре беше и да се вмества в правилата на играта.


Но всяко правило си има изключение. Всъщност всяко ли?
А това червеното на горния ред има ли си? Ако си няма, самото то не е вярно.
Ако е вярно, то значи също си има изключение - т.е. има поне едно правило без изключение.
Но тогава пък твърдението в червено не е вярно?! Допуснахме, че е вярно - оказа се невярно.
Тогава да допуснем, че правилата нямат изключения. Но тогава пък това червеното правило
също няма... но пък то противоречи на допускането. Къде се излиза от този кръг?

Цитат:

---

Първоначално публикувано от ql^2/8

...Допуснахме, че е вярно - оказа се невярно.
Тогава да допуснем, че правилата нямат изключения.

---

Тук е грешния преход.
Ако червеното правило е невярно, това означава, че "Не всяко правило си има изключение."

---

Зa монетите не виждам чиста печеливша стратегия. Независимо от фалшивите монети.
Но, ако мога по време на играта да подменя монетата, която хвърлям, тогава може да се направи нещо по въпроса.
Ако не мога, тогава всичко трябва да се сведе до психология. Двамата се познават добре и поне по-умният от тях може да предвиди донякъде логиката на другия. Ако я е познал - печели.

За грешния преход си права, може би.
Всъщност наличието на "правило с изключение" обезмисля категориите "вярно" и "невярно".
Според строгата логика наличието на дори едно изключение прави правилото невярно.
Което вече не е правило. Пък правилата си съществуват, въпреки изключенията си.
Разбира се, за да се нарушават. :rolleyes: Напук на логиката.
Но това беше лирическо отклонение...

* * *

А за монетите, помисли още. Ти можеш, кой ако не ти?

Как се играе тази игра? Двамата едновременно хвърлят своите монети и гледат какво се е паднало?

Ако да - тогава Бил ще иска от неговата монета по-често да получава ези, а Джо ще иска от неговата монета да получава по-често тура.
Ако могат да увеличават до еднакъв максимум вероятността да се пада исканата страна на своята монетата, то Джо печели.

Понеже това е логичната тактика за всеки от тях, то всеки от тях би предположил, че другия ще я приложи. Но не виждам полезен ход за Бил. Джо печели.

Ако правилата са, че има наистина само по една монета у всеки. И да ги хвърлят едновременно с чаша, за да се изключат ловките пръсти, тогава наистина изглежда, че Джо може да печели повече.
Обаче, ако Бил знае, че Джо е хитър, но няма въображение, тогава ще му е ясно, че Джо има монета с 2 тура. Ако и той вземе такава, на всяко хвърляне ще печели по доларче.

Аз не разбрах дали има само едно хвърляне, или цяла серия ще играят?

Хрумна ми друго мошеничество, което може би ще развърже загадката.
Дебалансирана монета, при която двете страни не са равновероятни.
Сега ще опитам да разиграя такава монета.
Ще ми се да помогна на Бил, Може би защото имената ни си приличат :)

P.S.
Така. С монета, която пада по-често на едната си страна, виждам печеливша стратегия за Джо (за жалост).
Ако играе с монета с Ези/Тура, която пада на Ези с вероятност поне малко повече от 1/6, но не повече от 5/14. Например 1/4. Тогава Бил няма как да отвърне.

Остава да измисля механически как да се направи монета, която да пада на едната си страна с точно желана вероятност.
Пак ми е най-лесно с втора тайна монета T/T.
Ще хвърлям поредно ту едната, ту другата.

Цитат:

---

prt: Как се играе тази игра? Двамата едновременно хвърлят своите монети и гледат какво се е паднало
Ако да - тогава Бил ще иска от неговата монета по-често да получава ези, а Джо ще иска от неговата монета да получава по-често тура.
Ако могат да увеличават до еднакъв максимум вероятността да се пада исканата страна на своята монетата, то Джо печели.?

---

Точно така се играе. И могат да увеличават до каквато си искат степен шанса на ези или тура.

Цитат:

---

Bibi: Така. С монета, която пада по-често на едната си страна, виждам почеливша стратегия за Джо (за жалост).
Ако играе с монета с Ези/Тура, която пада на Ези с вероятност поне малко повече от 1/6, но не повече от 5/14. Например 1/4. Тогава Бил няма как да отвърне.

Остава да измисля механически как да се направи монета, която да пада на едната си страна с точно желана вероятност.

---

Механичната страна остави на мошениците.
Иначе интервала го закова от 1/6 до 5/14.
Браво Биби! :bravoНе случайно вярвам в теб.

При 1/4 получаваш средно половин долар за Джо на игра. Максимумът е някъде близо...

Защо половин долар, не е ли един?
И не знам кой максимум гледаш ти. На мен ми се получи при 1/6 някакъв максимум, но може би трябва да търся най-големия минумум. Сега ще опитам.

Значи - при вероятност 3/10 ще печели по 80 цента на игра.

Цитат:

---

Първоначално публикувано от Bibi

Защо половин долар, не е ли един?
И не знам кой максимум гледаш ти. На мен ми се получи при 1/6 някакъв максимум, но може би трябва да търся най-големия минумум. Сега ще опитам.

Значи - при вероятност 3/10 ще печели по 80 цента на игра.

---

Тоя път го закова! :)

Остава и да обясниш на останалите как и защо...

А те, останалите, не са вчерашни.
Трудното е да се измисли подходящото мошеничество, после е само скучна математика.
Нея мога да я обясня с наколко думи.

1:1	EE	ET	TT
EE	9	2	-5
ET	2	0	-2
TT	-5	-2	1

Това са печалбите, когато монетите падат на всяка от двете си страни с вероятност 50:50. Ако числото е положително - Бил печели. Отрицателните са за Джон.
Ако Бил избере монета с две Ези (първия ред), той може да спечели 9 долара, при условие, че монетата на Джон също е ЕЕ. Но по-вероятно ще загуби $5, защото Джон ще играе с монета ТТ.
И за двамата няма печеливш тип монета - няма ред или стълб, в които числата да са с еднакви знаци.

1/6	EE	ET	TT	______	5/14	EE	ET	TT	____________	3/10	EE	ET	TT
EE	9	-2.67	-5		EE	9	0	-5		EE	9	-0.8	-5
ET	2	-1.3	-2		ET	2	-0.57	-2		ET	2	-0.8	-2
TT	-5	0	1		TT	-5	-1.14	1		TT	-5	-0.8	1

Опитах да дам на Бил монета (естествено с ET), която да повиши шансовете му, но нищо не се получи.
Горните 3 таблички са когато Джон има такава монета. Граничните случаи са когато тя пада на Ези при 1/6 или при 5/14 от случаите. Получих колонка, в която няма положителни числа, но има 0. Това значи, че Джон няма да загуби, но може и да не спечели. Значи истината е някъде по средата.
При 1/4 колонката придобива вид -1.5; -1; -0.5 (все отрицателни), т.е. Джон ще печели поне по половин долар на игра (средно). Като печалбата му ще зависи от монетата на Бил.
Оптимизираният вариант в последната табличка е напълно балансиран. Без значение какво е избрал Бил, Джон ще си печели по 80 цента.

Абсолютно вярно доказателство! А ето как изглежда и на картинка:
Прикачен файл 6710