Задача 72 (“Бърза помощ”)

Имате картинка с “полумесец”. Задачата ви е да обясните как може да се начертае кръст, който е с лице, равно на лицето на “полумесеца”.

“Полумесецът” е с голяма дъга – половин окръжност и малка дъга – четвърт окръжност (естествено от по-голяма окръжност).

Кръстът е “направен” от 5 еднакви квадрата.



Полумесец го пиша в кавички, защото:

1. Полумесецът е полукръг, а това по-прилича на лунен сърп.

2. Но и лунен сърп не е, защото на лунния сърп по-късата дъга е част от елипса, а не от окръжност.



За да не ме обвините, че е прекалено сложна задачата, ви казвам, че за нейното решение най-сложните формули, които трябва да знаете са - за лице на правоъгълник и Питагорова теорема. Останалото е находчивост. Успех!





Ще трябва да ми простите не до там правилния и красив чертеж...



http://prt.hit.bg/72.JPG

Вътрешната дъга е четвърт от окръжност с радиус R.

Хордата, свързваща двата й перпендикулярни радиуса е с дължина R#2.

Това е и диамертъра на по-малката окръжност (за външната дъга).

Значи малкия радиус е R#2/2.

Сърпчето е част от малката окръжност. Половината минус един сегмент.

Лицето на сегмента е (1/4П - 1/2)R^2

Значи лицето на сърпчето е 1/2R^2.

Остава да начертаем кръст (състоящ се от 5 квадрата) със същото лице.

Ако страната на всеки от квадратите е X, лицето на кръста е 5X^2.

Търсената страна X = R*1/#10

Но това е лесно, имайки се предвид, че правоъгълен триъгълник с катети А и 3А има хипотенуза А#10. (В случая катети X и 3X и хипотенуза R)



___________

Тук П е пи, # означава корен, а ^ степен

Не ме бива с компютъра, но имам скенер :)

Свързваме двата края на полумесеца и получаваме диаметъра на по-малката окръжност, средата е нейния център, защото това е половин окръжност. Върху симетралата на тази отсечка лежи центъра на по-голямата окръжност , така , че тази отсечка се вижда под ъгъл 90 градуса, защото е четвърт окръжност между точките А и В. След като се пресметне :

(2*r1)^2=(r2)^2+(r2)^2 -питагорова теорема =>

2*(r1)^2=(r2)^2

Нека лицето на полумесеца е Spm, лицето на сектора на четвъртокръжността е Sr2, лицето на сектора на полуокръжността е Sr1, а лицето на триъгълника АВО е Str. Лицето на полумесеца тогава е :

Spm=Sr1-Sr2+Str=1/2*pi*(r1)^2 - 1/4*pi*(r2)^2 + (2*r1*r1)/2 =

(r1)^2

Кръста е съставен от 5 еднакви триъгълника и лицето му е 5*(х^2) = (r1)^2, където х е страната на едно квадратче и х=(корен квадратен от 5) *r1.

С така наречения 'охлюв' (на втората рисунка) се получава х и оттам построението е лесно.

[img]C:\Documents and Settings\TEMP\Desktop\zadacha72.jpg[/img]

Не е точно както съм го написала , защото съм сбъркала сметките в бързината...х=((r1)*корен квадратен от 5)/5, тоест това , което се получава с охлюва трябва да се раздели точно на 5. Това става с нова рисунка и Талесовата теорема за подобията. Чертаем триъгълник, едната страна е r1*корен квадратен от 5, а другата е произволна отсечка , нанесена 5 пъти, двете страни образуват остър ъгъл. Свързваме втората страна с първата и успоредно на третата така получена страна през точките , които делят втората на 5 равни части прекарваме успоредни на третата, които делят ПЪРВАТА на също 5 равни части и сме готови с Х.

Raid, Sage, Cvetanov, Wise... къде сте бре? Вижте каква <font color="blue">силна</font id="blue"> женска част ни е подпукала тук! Я се вземете в ръце!!! [:)][:P]



Абе вие ще престанете ли с тези формули (па дори и на триъгълници и квадрати)??? Сънувам кошмари вече!!! Искам да достигам до решението на дадена задача <font color="red">по пътя на логиката</font id="red">, а не веднага след условието да посягам към лист и молив (или Excel)...



За мен математиката се изчерпва с това да извадя дрехите (й), да разделя краката (й), да събера гърдите (й)... и да се размножавам, размножавам, размножавам... [:P]



Осъзнайте се, моля Ви! Животът не е само катети и хипотенузи, нито окръжности и елипси... Холмс и Уотсън вече ви гледат на <font color="red">кръв</font id="red">...

Признавам си, че (1) Очаквах да получа 3 точки за тази задача и (2) Проверих само отговора на Bibi - след като видях, че е верен, нямах сили да проверя и този на Krusteva… утре...може би.



@Bibi

Кажи ни кога да очакваме 73?

Не мисля, че отговорът на Bibi е верен. Верни са нещата до предпоследния ред, където се твърди X = R*1/#10.ОК, а после обаче следва "Но това е лесно, имайки се предвид, че правоъгълен триъгълник с катети А и 3А има хипотенуза А#10. (В случая катети X и 3X и хипотенуза R)"

Нека дешифрираме какво значи лесно:

Търси се Х при известно R, а какво значи "В случая катети X и 3X и хипотенуза R",нали именно Х не е известно като отсечка! С други думи известно е само R, аналитично са известни катетите - Х=R*1/#10 и 3Х=R*3/#10, които обаче я без охлюва и без делене на 10 равни части ги начертайте,поне единия , за да е изпълнимо построението на точно тоя триъгълник. Може да се построи с тези данни само правоъгълен триъгълник с хипотенуза R и и прав ъгъл , лежащ на ГМТ , представляващо окръжност с диаметър R, нищо повече , никакво специално отношение между катите му.

Протестирам остро срещу решението на prt.

<blockquote id="quote"><font size="1" id="quote"><b id="quote">quote:</b id="quote"></font id="quote"><table border="0" id="quote"><tr id="quote"><td class="quote" id="quote"><font size="1" id="quote">Протестирам остро срещу решението на prt.



<div align="right">Originally posted by Krusteva*-*08/11/2004*:* 01:43:54</div id="right"></td id="quote"></tr id="quote"></table id="quote"></blockquote id="quote"><font size="2" id="quote"></font id="quote">





Започва да става интересно... [:)]

<blockquote id="quote"><font size="1" id="quote"><b id="quote">quote:</b id="quote"></font id="quote"><table border="0" id="quote"><tr id="quote"><td class="quote" id="quote"><font size="1" id="quote">Raid, Sage, Cvetanov, Wise... къде сте бре? ..............



<div align="right">Originally posted by IvO_tm*-*07/11/2004*:* 19:51:21</div id="right">

</td id="quote"></tr id="quote"></table id="quote"></blockquote id="quote"><font size="2" id="quote"></font id="quote">



Аз съм OffLine за известно време.[B)] Много служебни задължения ми се струпаха на главата и не ми остава свободно време.[}:)]

@Krustewa

Вчера ми бяха в повече градусите. Ще прегледам сега пак отговорите (на Биби и твоите) и ще пиша пак, но те моля да ми пратиш чертежа си на t_pavkov@yahoo.com, защото там, където е в момента - мисля никой не го я видял (освен теб де).



Лека седмица!



ДОПЪЛНЕНО:

Сметките да Биби са верни (липсва й построението накрая), а за тези на Кръстева - без чертежът й - не мога да кажа.

Иначе казано – задачата още не е решена.

За да налея масло в огъня, си мисля леко да попрескоча правилата (понеделнишки) като допълня условието на задачата.



Какво имаме до тук? По зададен полумесец е начертан равнолицев на него квадрат. От него трябва да се направи кръст (от 5 еднакви квадрата).



Предлагам задачата да спечели този, който направи следното:



Представете си, че имате въпросния квадрат изрязан от лист хубава* хартия. Как с помощта само на ножица и сръчни пръсти* можете да поизрежете от тук, от там и от парчетата да сглобите търсения кръст?



* Хубава хартия и сръчни пръсти:- това означава, че можете да правите така:

Харесвате си 2 точки от квадрата и го прегъвате на две, така че прегъвката да е права линия, която минава през харесаните от вас точки. После с ножицата режете по прегъвката...



@Иво + Лупус

ОК?

Мислех, че само ще ви отегчавам, ако разписвам подробно лесните неща. Вече всичко ще пиша в прав текст!

Как да построим триъгълник, на който единият катет е три пъти по-голям от другия, а хипотенузата му е R? Лесно:

Начертаваме произволен триъгълник с катети в това отношение (А и 3*А).

Върху лъча на хипотенузата му нанасяме отсечка с големина R и начало единия връх.

От края на отсечката пускаме перпендикуляр към правата на катета.

Получаваме нов триъгълник, подобен на началния (по III признак), но вече с хипотенуза R.

Малкия му катет ще излезе с дължина R/#10.



Отивам за ножица.

Добре.

Ако никой не я реши, поне и аз ще се помъча малко... [:)]

Сега, ако някой ми обясни как да сложа картинка в отговора, че да не пиша като луда да обяснявам чертежа, ще ви покажа и решението с ножицата...

Където пише формат измежду бутоните има Insert Image, но смятам вече, че задачата ти е решена, съвсем ясно си го обяснила в предпоследния си пост.

<blockquote id="quote"><font size="1" id="quote"><b id="quote">quote:</b id="quote"></font id="quote"><table border="0" id="quote"><tr id="quote"><td class="quote" id="quote"><font size="1" id="quote">Сега, ако някой ми обясни как да сложа картинка в отговора, че да не пиша като луда да обяснявам чертежа, ще ви покажа и решението с ножицата...



<div align="right">Originally posted by Bibi*-*08/11/2004*:* 11:52:31</div id="right">

</td id="quote"></tr id="quote"></table id="quote"></blockquote id="quote"><font size="2" id="quote"></font id="quote">



Прати ми я на



t_pavkov@yahoo.com