Задача 101 /извънземни/

[dedis]

Докато чакаме Райд и понеже няма правила си позволявам да задам задачка-закачка, като запазвам за него юбилейния номер

Та... бяхме седнали на чашка гроздова с трима приятели. Те цъкаха, чудеха се, радваха се като малки деца. На техните планети нямало такава вкусотия. Е, после езиците съвсем се развързаха /или завързаха, както щете го речете/ и те изпаднаха в необикновено настроение.

Не бях предполагал, че тези известни извънземни учени ще изпаднат в такава еуфория.

По едно време дотолкова се разпалиха, че започнаха да си хвалят и надпират коя наука е стигнала по-напред.

Кизеб показа една метална /според мен/ пръчка и започна да твърди, че на нея си бил записал текста на много известни произведения от съкровищницата на земната култура. На моя въпрос какъв код е използвал, той заяви, че само с една чертичка кодирал цял документ.

Лаксап се изхили подигравателно и каза, че това било остаряла техника. "В числото ПИ има цялата информация и само трябва да адресираш началото и края на стринга" - каза той победоносно.

Ченето на Кизеб увисна, разбира се, но пък Ис се запревива от смях. "Ама вие от мъглявината Конска глава ще ме спукате. Какво "ПИ", какво "е" бе, че информацията си я има и в естествената редица на числата.

Чудех се, тези блъфират ли или в твърденията им има нещо вярно.

Вие какво ще кажете?

[FearMe]

нумерология, кабала или всякаква друга там форма на търсене на смисъл в случайни или псевдо-закономерни последователности... пи има безкраен брой знаци след десетичната запетая.



твърдението на гореспоменатите извънземни следва да се разглежда и коментира в светлината на абсолютно правилната правна формулировка - "доказва се положително, а не отрицателно твърдение". така че те следва да докажат, че е така, а не ние да преценяваме дали е възможно.



но при положение, че така или иначе това е задачка-закачка, тя няма еднозначен отговор...

[barnie]

Хмм, малко лъжат тия твойте извънземни... Или поне не казват цялата истина.



Така, да кажем, че имаме даденото произведение на изкуството и нека да можем да го запишем в 1 милион байта. Това значи, че можем да го запишем като двоично число с 8 милиона цифри...



Дотук добре, Кизеб не лъже, наистина въпросното число го има в редицата на естествените числа. Само че съвсем не е ясно дали двоичният запис на пи съдържа всички възможни низове. Пи е ирационално, което значи, че не може да се запише като безкрайно повтарящ се низ. Пи е и трансцедентно, което не казва нищо за неговото двоично (или в каквато и да е друга бройна система) представяне. Така че, съвсем не е ясно дали всеки низ се съдържа в пи, поне аз съм склонен да не вярвам в това, и ако подходим точно по начина, описан от Лаксап, нищо не ни гарантира успех.



От друга страна, ирационалността на пи означава, че в двоичният му запис има безкрайно много различни низове. Ако те се номерират, то все пак ще имаме низ с номер точно това число с 8 милиона двоични цифри, и произведението би могло да се кодира, но по-доста по-сложен от описания начин.



Що се отнася до отсечката, ако сложим едно 0. пред 8-те милиона цифри, ще получим число между 0 и 1, което би могло да е представено от дължината на тази отсечка в сантиметри. За съжаление, съвременната физика май е по-скоро на мнение, че материята се състои от кванти (т.е. не може да се дели безкрайно), и това число може да пресече границата. Явно и Кизеб не казва цялата истина...

[dedis]

Браво Барни,

За отсечката разгада начина /изключвам физическия недостатък на метода/. Само не ми е ясно защо си се хванал като удавник за сламка за двоичния код. С десетични числа също можеш да кодираш информация. Пък и като се каже естествен ред на числата се има предвид десетичната бройна система. А ПИ да го пишем двоично...[]

Та, последно, другите двама мошеници ли са?

[Bibi]

В числото Пи, според мен наистина се съдържа всеки краен стринг от цифри. Същото важи и за множеството на естествените числа. Просто може да се вземе съответното число, съдържащо една след друга цифрите, кодиращи текста.

Това, което ме притеснява обаче е "икономичността" на такова кодиране.

Ако се окаже, че мястото в Пи, от където започва Илиада например, е с повече символи от нея самата, а при това ще трябва да се запомни и дължината на стринга, то не им схващам файдата...



_______

И, като заговорихте за трансцендентни числа, се сещам да ви питам можете ли да свържете най-известните математечески константи:

0, 1, П, е, i

в тъждество, като всяка участва в него точно по веднъж, не се използват други числа и букви, имате право да използвате знакът "+" (както, естествено и знакът "=")?

[dedis]

Правилно. И аз разсъждавам като вас. А задачата която облякох в "нашия" си стил, е инспирирана от книга на проблемиста Гарднър:



Доктор Зета, ученый из галактики Геликс, лежащей в другом измерении пространства времени, прибыл на Землю для сбора научной информации об ее обитателях. В США он был гостем доктора Германа.

Д-р Герман. Почему бы вам не прихватить с собой Британскую энциклопедию? В ней в сжатом виде изложен колоссальный опыт всего человечества.

Д-р Зета. Великолепная идея! Жаль только, что я не смогу взять с собой столь большую массу. Впрочем, я могу закодировать энциклопедию на этом металлическом стержне. Для этого мне понадобится нанести на него одну-единственную риску.

Д-р Герман. Вы шутите, коллега? Разве может одна-единственная риска нести такое огромное количество информации?

Д-р 3ета. Разумеется, может, мой дорогой Герман! В вашей энциклопедии меньше тысячи букв и специальных знаков. Каждую букву и каждый знак я обозначу числами от 1 до 999, добавляя в случае необходимости нули слева, чтобы все коды были трехзначными.

Д-р Герман. Я не вполне уловил вашу мысль. Как, например, вы закодируете слово "КОТ"?

Д-р 3ета. Очень просто. Закодирую каждую-из трех букв так, как я только что говорил, и получу 003001020. С помощью своего мощного карманного компьютера доктор Зета быстро считал строку за строкой Британскую энциклопедию и закодировал весь текст в виде одного гигантского числа. Поставив перед ним нуль с запятой, он превратил это число в конечную десятичную дробь.

Затем доктор Зета нанес риску на металлический стержень, разделив его па две части (a и b) так, чтобы их отношение было равно полученной дроби.

Д-р Зета. Когда я вернусь на родную планету, один из наших компьютеров измерит отрезки a и b и вычислит дробь a/b. Затем он декодирует ее и отпечатает для нас всю вашу энциклопедию!



Если вы никогда не сталкивались с проблемами кодирования и декодирования, то вам, несомненно, будет интересно самостоятельно закодировать и декодировать несколько простых сообщений с помощью какого-нибудь числового кода, аналогичного предложенному доктором Зета. Коды позволяют нам прочувствовать всю важность взаимно-однозначного соответствия и отображения структуры на изоморфную структуру. Такие коды находят применение в высших разделах теории доказательств, Курт Гёдель доказал свою знаменитую теорему о том, что в каждой достаточно сложной (содержащей аксиомы арифметики целых чисел) дедуктивной системе существуют утверждения, которые в рамках этой системы невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Доказательство Гёделя основано на использовании числового кода,

позволяющего сопоставить каждой теореме дедуктивной системы единственное и очень большое целое число.

Разумеется, кодирование всей энциклопедии с помощью одной-единственной риски на стрежне хорошо лишь в теории, но отнюдь не на практике. Трудность состоит в том, что необходимая для такого кодирования точность недостижима. Ширина риски должна быть меньше размеров электрона, и длину обоих отрезков a и b необходимо измерять с такой же точностью. Но если предположить, что два отрезка можно измерить с точностью, достаточной для получения требуемой дроби, то метод доктора Зета следует признать вполне осуществимым.

Обратимся теперь к иррациональным числам. Математики считают, что десятичное разложение числа pi "бесструктурно", как любая другая бесконечная последовательность случайных цифр. Если это так, то можно утверждать, что какой бы конечный набор цифр мы ни взяли, в разложении pi найдется совпадающий с ним отрезок. Иначе говоря, где-то в разложении числа pi встречается отрезок, совпадающий с закодированной доктором Зета Британской энциклопедией. Более того, где-то в десятичном разложении числа л встречаются отрезки, совпадающие с закодированными текстами всех когда-либо напечатанных работ и даже всех сочинений, которые когда-нибудь будут созданы!

Любой конечный набор цифр встречается и в десятичных разложениях иррациональных чисел, в которых распределение цифр не случайно, а подчинено простым и ясным закономерностям. Например, любой конечный набор цифр заведомо встречается в десятичном разложении

0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ... (после запятой выписаны подряд все целые числа).

[dedis]

Това i корен квадратен от -1 ли е?

Първото, което се сещам е (П +е +i)^0=1, но сигурно не е вярно.

Едит// сега видях, че само знакът + може да се използва[8)]

[barnie]

е^{\pi i} +1 = 0



Само че това трябва да го четеш с latex за да излезе както трябва (т.е. e на степен пи по i плюс 1 е 0)



Не е ясно това за съдържането на всеки низ в пи. Много ми е лесно да ти дам за пример ирационално число, което не съдържа всички низове дори и в двоична система (за другите е още по-лесно като просто не ползваш някоя цифра):

0.101001000100001000001 и т.н. единици разделени от растящ брой нули.



Това със сигурност е ирационално, но не съдържа например низа 10101.

[Bibi]

@barnie,

да, това е!



e^iП + 1 = 0



Ама кажете не е ли красиво! []

[dedis]

<blockquote id="quote"><font size="1" id="quote"><b id="quote">quote:</b id="quote"></font id="quote"><table border="0" id="quote"><tr id="quote"><td class="quote" id="quote"><font size="1" id="quote">В числото Пи, според мен наистина се съдържа всеки краен стринг от цифри. Същото важи и за множеството на естествените числа. Просто може да се вземе съответното число, съдържащо една след друга цифрите, кодиращи текста.

Това, което ме притеснява обаче е "икономичността" на такова кодиране.

Ако се окаже, че мястото в Пи, от където започва Илиада например, е с повече символи от нея самата, а при това ще трябва да се запомни и дължината на стринга, то не им схващам файдата...



<div align="right">Originally posted by Bibi*-*03/12/2004*:* 10:25:30</div id="right">

</td id="quote"></tr id="quote"></table id="quote"></blockquote id="quote"><font size="2" id="quote"></font id="quote">

Това ми напомня /асоциациите са понякога необясними/ на изказването на един велик скулптор, че статуята си е вътре в гранита, а той махал само излишния материал.



Биби, красиво е, наистина. Съжалявам, че доста позабравих математиката.

Барни, ако наистина ирационалните числа включват тези, конструирани по произволен алгоритъм, то Гарднер не е прав. Но пък и аз не съм компетентен да се произнеса.

Да споделя - прави ми впечатлиние, че никой още не е задал задача от електроника, електротехника или да речем оптимизиране на алгоритъм, в този иначе хардуерно-софтуерен сайт.