Задача 119 (везна и монети)
Разполагате с 2N номерирани монети, като всички истински имат една и съща маса и всички фалшиви имат една и съща маса и са по-леки от истинските. Известни са ви следните твърдения:
1. Монетите с номера от 1 до N са истински.
2. Монетите с номера от N+1 до 2N са фалшиви.
Аз зная само първото. Как посредством три измервания с везна, ще ми докажете, че и второто е вярно, ако:
а) N=7
б) N=9
И едно допълнение към задачата, което не е задължително да решавате. Ако разполагате с четири измервания, кое е най-голямото число N, за което задачата има решение?
ЕДИТ
Бях пропуснал да напиша, че фалшивите са по-леки, за което се извинявам на всички (в последно време често ми се случва да давам непълни условия) [:(]
Задача 119 (везна и монети)
Измислих някакво решение, при което ми стига само една истинска монета (примерно я вадиш от джоба си и затова си сигурен, че не е фалшива).
Затова ще си позволя да преномерирам монетите. Ще кръстя фалшивите 1, 2, 3, 4...
Не вярвам това да ви обърка. А истинската "И"
а)
1. И > 1
Значи 1 е фалшива (и фалшивите са по-леки от истинските)
2. И + 1 > 2 + 3
Значи вдясно фалшивите са повече, отколкото вляво. Значи са и двете.
3. И + 1 + 2 + 3 > 4 + 5 + 6 +7
Значи вдясно фалшивите са повече, отколкото вляво. Значи са и четирите.
б)
1. И + 1 + 2 > 3 + 4 + 5
2. И + 3 + 4 + 5 > 6 + 7 + 8 + 9
3. И + 6 + 7 + 8 + 9 > 1 + 2 + 3 + 4 + 5
От 3. виждаме, че сред (1,2,3,4,5) фалшивите са поне с една повече, отколкото сред (6,7,8,9).
А от 2., че сред (6,7,8,9) са поне с една повече, отколкото сред (3,4,5).
Значи фалшивите монети сред (1,2,3,4,5) са поне с 2 повече, отколкото сред (3,4,5). Значи са ТОЧНО с 2 повече и това са монетите 1 и 2.
Щом 1 и 2 са фалшиви от първото претегляне, според което вдясно има повече фалшиви монети излиза, че и трите там са фалшиви (3, 4 и 5).
И накрая от второто претегляне заключаваме, че и последните 4 монети са фалшиви.
Задача 119 (везна и монети)
<blockquote id="quote"><font size="1" id="quote"><b id="quote">quote:</b id="quote"></font id="quote"><table border="0" id="quote"><tr id="quote"><td class="quote" id="quote"><font size="1" id="quote">Измислих някакво решение, при което ми стига само една истинска монета (примерно я вадиш от джоба си и затова си сигурен, че не е фалшива). Затова ще си позволя да преномерирам монетите. Ще кръстя фалшивите 1, 2, 3, 4... Не вярвам това да ви обърка. А истинската "И"
а)
1. И > 1
Значи 1 е фалшива (и фалшивите са по-леки от истинските)
2. И + 1 > 2 + 3
Значи вдясно фалшивите са повече, отколкото вляво. Значи са и двете.
3. И + 1 + 2 + 3 > 4 + 5 + 6 +7
Значи вдясно фалшивите са повече, отколкото вляво. Значи са и четирите.
<div align="right">Originally posted by Bibi*-*17/12/2004*:* 17:01:07</div id="right">
</td id="quote"></tr id="quote"></table id="quote"></blockquote id="quote"><font size="2" id="quote"></font id="quote">
нали става въпрос за 2N монети!!
Задача 119 (везна и монети)
<blockquote id="quote"><font size="1" id="quote"><b id="quote">quote:</b id="quote"></font id="quote"><table border="0" id="quote"><tr id="quote"><td class="quote" id="quote"><font size="1" id="quote">
нали става въпрос за 2N монети!!
</td id="quote"></tr id="quote"></table id="quote"></blockquote id="quote"><font size="2" id="quote"></font id="quote">
@Wise
Да така e. Просто Биби е номерирала само фалшивите и е взела коя да е истинска - И
Задача 119 (везна и монети)
За да стане по-ясно това, което казвам за 9-те фалшиви монети, ще го изразя по още един начин.
нека
a е броят на фалшивите монети сред (1,2) 0 <= а <= 2
b е броят на фалшивите монети сред (3,4,5) 0 <= b <= 3
c е броят на фалшивите монети сред (6,7,8,9) 0 <= c <= 4
от 1. b >= a + 1
от 2. c >= b + 1
от 3. a + b >= c + 1
a + b >= c + 1 >= (b + 1) + 1 = b + 2
значи a >= 2, но 0 <= a <=2
от където а = 2
____________
С 4 измервания мога да докажа за 15 монети, че са фалшиви, но сега мисля за повече.
Вече и за 18 мога...
@Цветанов,
да се гърча ли още? [:D]
Задача 119 (везна и монети)
Това е вярното решение на б)
Биби пак ти си на ред да задаваш
Задача 119 (везна и монети)
Ще давам, ама утре.
Между 9 и 10 часа сутринта.
Обаче не разбрах какъв е отговорът на допълнителната част?
Повече от 18 ли е? [?]
________
понеже вече съм "Пипе" - тъп и упорит, ще кажа за 18-те, пък ако някой иска, да мисли за повече.
Разделям ги на 4 групи - едната с 3, другата с 4, третата с 5 и последната с 6 монети - общо 18. s, t, u, v е броят на фалшивите във всяка група съответно. Пак използвам една истинска и тегля всяка група срещу следващата, като допълвам бройката с истинската монета. 4-тия път тегля първите две срещу последната.
t >= s + 1
u >= t + 1
v >= u + 1
s + t >= v + 1
s + t >= v + 1 >= u + 2 >= t + 3
s >= 3
ама s е най-много 3
значи s=3
Натам е лесно, че t = 4, u = 5, v = 6.