Задача 119 (везна и монети)

[Cvetanov]

Разполагате с 2N номерирани монети, като всички истински имат една и съща маса и всички фалшиви имат една и съща маса и са по-леки от истинските. Известни са ви следните твърдения:



1. Монетите с номера от 1 до N са истински.

2. Монетите с номера от N+1 до 2N са фалшиви.



Аз зная само първото. Как посредством три измервания с везна, ще ми докажете, че и второто е вярно, ако:

а) N=7

б) N=9



И едно допълнение към задачата, което не е задължително да решавате. Ако разполагате с четири измервания, кое е най-голямото число N, за което задачата има решение?



ЕДИТ

Бях пропуснал да напиша, че фалшивите са по-леки, за което се извинявам на всички (в последно време често ми се случва да давам непълни условия) []

[Bibi]

Измислих някакво решение, при което ми стига само една истинска монета (примерно я вадиш от джоба си и затова си сигурен, че не е фалшива).

Затова ще си позволя да преномерирам монетите. Ще кръстя фалшивите 1, 2, 3, 4...

Не вярвам това да ви обърка. А истинската "И"



а)

1. И > 1

Значи 1 е фалшива (и фалшивите са по-леки от истинските)

2. И + 1 > 2 + 3

Значи вдясно фалшивите са повече, отколкото вляво. Значи са и двете.

3. И + 1 + 2 + 3 > 4 + 5 + 6 +7

Значи вдясно фалшивите са повече, отколкото вляво. Значи са и четирите.



б)

1. И + 1 + 2 > 3 + 4 + 5

2. И + 3 + 4 + 5 > 6 + 7 + 8 + 9

3. И + 6 + 7 + 8 + 9 > 1 + 2 + 3 + 4 + 5



От 3. виждаме, че сред (1,2,3,4,5) фалшивите са поне с една повече, отколкото сред (6,7,8,9).

А от 2., че сред (6,7,8,9) са поне с една повече, отколкото сред (3,4,5).

Значи фалшивите монети сред (1,2,3,4,5) са поне с 2 повече, отколкото сред (3,4,5). Значи са ТОЧНО с 2 повече и това са монетите 1 и 2.

Щом 1 и 2 са фалшиви от първото претегляне, според което вдясно има повече фалшиви монети излиза, че и трите там са фалшиви (3, 4 и 5).

И накрая от второто претегляне заключаваме, че и последните 4 монети са фалшиви.

[Wise]

<blockquote id="quote"><font size="1" id="quote"><b id="quote">quote:</b id="quote"></font id="quote"><table border="0" id="quote"><tr id="quote"><td class="quote" id="quote"><font size="1" id="quote">Измислих някакво решение, при което ми стига само една истинска монета (примерно я вадиш от джоба си и затова си сигурен, че не е фалшива). Затова ще си позволя да преномерирам монетите. Ще кръстя фалшивите 1, 2, 3, 4... Не вярвам това да ви обърка. А истинската "И"



а)

1. И > 1

Значи 1 е фалшива (и фалшивите са по-леки от истинските)

2. И + 1 > 2 + 3

Значи вдясно фалшивите са повече, отколкото вляво. Значи са и двете.

3. И + 1 + 2 + 3 > 4 + 5 + 6 +7

Значи вдясно фалшивите са повече, отколкото вляво. Значи са и четирите.





<div align="right">Originally posted by Bibi*-*17/12/2004*:* 17:01:07</div id="right">

</td id="quote"></tr id="quote"></table id="quote"></blockquote id="quote"><font size="2" id="quote"></font id="quote">

нали става въпрос за 2N монети!!

[Cvetanov]

<blockquote id="quote"><font size="1" id="quote"><b id="quote">quote:</b id="quote"></font id="quote"><table border="0" id="quote"><tr id="quote"><td class="quote" id="quote"><font size="1" id="quote">

нали става въпрос за 2N монети!!

</td id="quote"></tr id="quote"></table id="quote"></blockquote id="quote"><font size="2" id="quote"></font id="quote">



@Wise

Да така e. Просто Биби е номерирала само фалшивите и е взела коя да е истинска - И

[Bibi]

За да стане по-ясно това, което казвам за 9-те фалшиви монети, ще го изразя по още един начин.

нека

a е броят на фалшивите монети сред (1,2) 0 <= а <= 2

b е броят на фалшивите монети сред (3,4,5) 0 <= b <= 3

c е броят на фалшивите монети сред (6,7,8,9) 0 <= c <= 4



от 1. b >= a + 1

от 2. c >= b + 1

от 3. a + b >= c + 1



a + b >= c + 1 >= (b + 1) + 1 = b + 2

значи a >= 2, но 0 <= a <=2

от където а = 2



____________

С 4 измервания мога да докажа за 15 монети, че са фалшиви, но сега мисля за повече.



Вече и за 18 мога...



@Цветанов,

да се гърча ли още? [:D]

[Cvetanov]

Това е вярното решение на б)

Биби пак ти си на ред да задаваш

[Bibi]

Ще давам, ама утре.

Между 9 и 10 часа сутринта.



Обаче не разбрах какъв е отговорът на допълнителната част?

Повече от 18 ли е? [?]



________

понеже вече съм "Пипе" - тъп и упорит, ще кажа за 18-те, пък ако някой иска, да мисли за повече.



Разделям ги на 4 групи - едната с 3, другата с 4, третата с 5 и последната с 6 монети - общо 18. s, t, u, v е броят на фалшивите във всяка група съответно. Пак използвам една истинска и тегля всяка група срещу следващата, като допълвам бройката с истинската монета. 4-тия път тегля първите две срещу последната.

t >= s + 1

u >= t + 1

v >= u + 1

s + t >= v + 1



s + t >= v + 1 >= u + 2 >= t + 3

s >= 3

ама s е най-много 3

значи s=3



Натам е лесно, че t = 4, u = 5, v = 6.