Задача 147 (пияният пазач)

Има един кръгъл затвор - килиите са подредени в кръг с врати към центъра на окръжността. В затвора има 100 килии с номера от 1 до 100, във всяка от които има по един затворник.

Една вечер пазачът на затвора се напил и пощръклял. Започнал да тича по коридора с вратите на килиите и да играе една странна игра. На първата обиколка отворил всички килии. На втората обиколка затворил всяка втора врата. На третата обиколка се спирал пред всяка трета врата, при което, ако вратата била затворена, я отварял и обратното - ако била отворена, я затварял. На четвъртата обиколка постъпил по същия начин с всяка четвърта врата и т.н. Всяка обиколка почвал да брои от врата номер 1.

Цялата веселба приключила след като пазачът направил 100 обиколки, каталясал и припаднал. Тогава всички затворници, които видели вратита на килиите си отворени, избягали.



Колко са бегълците?

Избягали са 10 затворника.[:D]

<blockquote id="quote"><font size="1" id="quote"><b id="quote">quote:</b id="quote"></font id="quote"><table border="0" id="quote"><tr id="quote"><td class="quote" id="quote"><font size="1" id="quote">Избягали са 10 затворника.[:D]



<div align="right">Originally posted by SAGE*-*20/01/2005*:* 20:48:40</div id="right">

</td id="quote"></tr id="quote"></table id="quote"></blockquote id="quote"><font size="2" id="quote"></font id="quote">



А можеш ли да изброиш номерата на килиите им?

10 затворника, номерата на килиите им са точни квадрати :

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

Мога да го докажа, ама малко ме мързи [:D]



/Благодаря, Иво [:D]

Krusteva, а 10-тата килия с какъв номер е? [:)]



/Няма защо, преброих ги без да искам [:)]

@SAGEЩе пуснеш ли следващата задача или да помолим Кръстева?

<blockquote id="quote"><font size="1" id="quote"><b id="quote">quote:</b id="quote"></font id="quote"><table border="0" id="quote"><tr id="quote"><td class="quote" id="quote"><font size="1" id="quote">@SAGEЩе пуснеш ли следващата задача или да помолим Кръстева?



<div align="right">Originally posted by Edin_Lud*-*20/01/2005*:* 22:20:46</div id="right">

</td id="quote"></tr id="quote"></table id="quote"></blockquote id="quote"><font size="2" id="quote"></font id="quote">



По-добре да помолим Krusteva, защото няма с какво да ви затрудня, пък и изоставам с работата и ще ме уволни началника.[;)]



Krusteva, от името на всички те моля да пуснеш следващата задача.[^]

<blockquote id="quote"><font size="1" id="quote"><b id="quote">quote:</b id="quote"></font id="quote"><table border="0" id="quote"><tr id="quote"><td class="quote" id="quote"><font size="1" id="quote">



Krusteva, от името на всички те моля да пуснеш следващата задача.[^]



<div align="right">Originally posted by SAGE*-*20/01/2005*:* 22:37:06</div id="right">

</td id="quote"></tr id="quote"></table id="quote"></blockquote id="quote"><font size="2" id="quote"></font id="quote">



Много благодаря за отстъпеното право [:)]

Ще се постарая да намеря нещо за полунощ [:)]

Не мога да се въздържа да не си кажа идейката [:)]



Една стая е отключена, ако номерът й има нечетен брой делители.

Само точните квадрати отговарят на това условие:

Нека N е някакво число и a₁, a₂,..., a_s са простите му множители.

N = a₁^i₁.a₂^i₂...a_s^i_s (множителите на някакви си степени)

Тогава броят на делителите на N е

(i₁+1)(i₂+1)...(i_s+1).

Щом искаме това да е нечетно, значи трябва всичките му множители да са нечетни, при което получаваме, че всички i-та трябва да са четни.

Значи числото е точен квадрат.



//EDIT

Хора! Това горното го оставям само за мазохистите, не го четете!

Ето какво решение предлага тайният член на форума ни Djendo:

За всеки делител, който е по-малък от #N, има еднозначно втори -

по-голям от #N. Акo самото #N не делител, все ще имаме четен брой.

-------

#N е корен от N

Bibi туй за мазохистите с какви знания по математика го постигна?

@Yasen6275

Биби е математик и хич не е чудно че има такива знания[:)]

@Yasen6275,

Това, дето съм го написала е мъчително по-скоро за четене, отколкото за измисляне.

Не се използват някакви специални математически познания, по-скоро опира до броене.



Всяко число може да бъде разложено на прости множители.

Всеки негов делител е произведение от същите прости множители, но някои от тях може да участват с по-ниски степени.

Ако в делимото даден множител участва на степен s, в делителите му той може да участва на степен 0, 1, 2,... или s. Общо s+1 възможни стойности.

Така преброявам колко различни делители може да има.



Например числото 50 има 6 делителя.

Защото 50 = 2*5²

двойката или ще участва в делителя, или не, петицата може да не участва, да бъде от първа, или от втора степен. 2*3=6 начина.

1, 5, 25, 2, 10, 50.