Задача 240 (торта)

Гледам в кварталната сладкарница промоция - "Ако пресметнете площта на някоя торта, я получавате безплатно". Що ли пък да не зарадвам децата...

Влизам и питам за промоцията. Сладкарката вади една супер крива торта и разправя:

- Ето това остана - майсторът се беше понапил като я прави. Тортата е четириъгълна с размери на страните съответно 16, 30, 20 и 36 см. Ако кръстите ъглите С, А, К, Е /като "торта" на английски, а не като "ракия" на японски/, ще откриете, че С+А = К+Е. Повече не мога да помогна.



Веднага ми стана ясно, че промоцията е пръчка. Ама нали трябва да се докажа...

С+А = К+Е - това ъглите ли трябва да са или само страните?

Получавам някаква грозотия: 165#7. (# е корен)

Ако е толкова, мога нещо да обясня.

Ако сумата на ъглите е сума на съседни такива, значи имаме трапец, но нито един от 6-те варианта на трапец не е възможен. Затова сумата е на срещуположни върхове и както го смятах аз излезе 105*#31.



Аман от промоции, пастички нямаше ли [;)].

<blockquote id="quote"><font size="1" id="quote"><b id="quote">quote:</b id="quote"></font id="quote"><table border="0" id="quote"><tr id="quote"><td class="quote" id="quote"><font size="1" id="quote">Ако сумата на ъглите е сума на съседни такива, значи имаме трапец, но нито един от 6-те варианта на трапец не е възможен.

<div align="right">Originally posted by Krusteva*-*28/04/2005*:* 02:32:19</div id="right">

</td id="quote"></tr id="quote"></table id="quote"></blockquote id="quote"><font size="2" id="quote"></font id="quote">



Възможен е. Ето как изглежда и как се построява.



[image]http://eo.yifan.net/users/y/kamenf/zad240.gif[/image]



//ЕДИТ

Гледам, че Bibi е смятала по тази схема, щото и аз получавам същото.

<blockquote id="quote"><font size="1" id="quote"><b id="quote">quote:</b id="quote"></font id="quote"><table border="0" id="quote"><tr id="quote"><td class="quote" id="quote"><font size="1" id="quote">Получавам някаква грозотия: 165#7. (# е корен)

Ако е толкова, мога нещо да обясня.



<div align="right">Originally posted by Bibi - 28/04/2005 : 00:26:42</div id="right">

</td id="quote"></tr id="quote"></table id="quote"></blockquote id="quote"><font size="2" id="quote"></font id="quote">



Грозотия е отговорът, но ми хареса идеята - тя е важна. Числата не можах да ги наглася за красив отговор. Ще обясниш ли?

http://www.skynetmarketing.net/heron.jpg

@skynet Това не е нашата торта. Ъглите не отговарят на условието.



Идеята е да се сетим, че при С+А = К+Е фигурата е трапец с основи 36 и 30. Два такива трапеца образуват успоредник със страни (30+36) и 16 /или (30+36) и 20) - резултатът не се променя/. Разделяме успоредника на 22 еднакви триъгълника със страни 16,20,(36-30) и от тук нататък са прости сметки.



p=(16+20+6)/2 - полупериметър на 1 триъгълник

s=sqrt(p(p-16)(p-20)(p-6)) - лице на 1 триъгълник

S=11s - лице на половината успоредник = лице на трапеца САКЕ

А защо не може трапецът да е с основи 36 и 20, а страниците да са 16 и 30?

тогава ако не съм сбъркал сметките получих 135/4.#31



//едит

сега ми излезе 52,5.#31

@един_луд - карай да върви, лаф да става, идеята ми беше да се използват формулите на Херон - другото е частен случай :) Нещо много замотано ми се вижда с тия 22 триъгълника - дали няма някое по-просто решение??!! ммм??

@Wise Защото страните са: 16,30,20,36 => 20 и 36 са съседни. Поне в тази последователност са зададени в условието. Иначе си прав - площта е друга, ако се сменят местата на страните, напр. 16,20,30,36.

Точно поради същата приина не са верни разсъжденията на Krusteva за ъглите. Не може срещуположните да се допълват до 180^о, защото С и А са съседни, както и К и Е - в противен случай не можем да напишем САКЕ, както е по условие.



@skynet Точно формула на Херон използвам за пресмятане лицето на един триъгълник. Сигурен съм, че има и други решения освен това с 22та триъгълника - аз така я реших. Ще видим Bibi как я е решила. Може да е намерила нещо по-елегантно.

Tрапецa го отрязвам на триъгълниче със страни 16, 6, 20 и ромбоид със страни 30 и 16.

Височините им към основите, дето са дълги по 16 се делят 1:5*.

Значи ромбоида има лице 10 пъти по-голямо от това на триъгълника.**

Значи лицето на тортата е 11 пъти по-голямо от лицето на триъгълника.***

Лицето на триъгълника се смята по Хероновата формула и излиза 15#7.



---------------

* защото страните са 6:30

** ако височината на триъгълника е h, а на ромбоида 5h, лицето на триъгълника е 16*h/2, а на ромбоида е 16*5h

*** лицето на тортата е сумата от лицата на двете фигури: s + 10s = 11s

<blockquote id="quote"><font size="1" id="quote"><b id="quote">quote:</b id="quote"></font id="quote"><table border="0" id="quote"><tr id="quote"><td class="quote" id="quote"><font size="1" id="quote">@Wise Защото страните са: 16,30,20,36 => 20 и 36 са съседни. Поне в тази последователност са зададени в условието. Иначе си прав - площта е друга, ако се сменят местата на страните, напр. 16,20,30,36.

Точно поради същата приина не са верни разсъжденията на Krusteva за ъглите. Не може срещуположните да се допълват до 180^о, защото С и А са съседни, както и К и Е - в противен случай не можем да напишем САКЕ, както е по условие.



@skynet Точно формула на Херон използвам за пресмятане лицето на един триъгълник. Сигурен съм, че има и други решения освен това с 22та триъгълника - аз така я реших. Ще видим Bibi как я е решила. Може да е намерила нещо по-елегантно.



<div align="right">Originally posted by Edin_Lud - 28/04/2005 : 10:53:15</div id="right">

</td id="quote"></tr id="quote"></table id="quote"></blockquote id="quote"><font size="2" id="quote"></font id="quote">



@Edin_Lud

разбирам и се съгласявам - само искам да вметна, че в моя вариант сметките стават по-лесно и би било по-добре ако е зададена 16,20,30,36 -лично мое мнение. [:)]

@bibi - страхотна идея, но не знаем h нито 5h :) на мен много ми се щеше да знам диагоналите на т.н "торта" че да използвам Brahmagupta.



едит:// обаче...,моята идея



P=a+b+c+d

h2 = (a+b-c+d)(-a+b+c+d)(a-b-c+d)(a+b-c-d)/[4(a-c)2].

и

A = h(a+c)/2



h=sqr(((36+16-30+20)(-36+16+30+20)(36-16-30+20)(36+16-30-20))4(36-30)2))=13.2287566



А=13.2287566(36+30)/2=13.2287566*66=436.548966

Аз пък изобщо не разсъждавах за отношението на лицата на фигурите, направо си намерих h от лицето на малкото триъгилниче (6,16,20) по Хероновата формула и после обратно от нормалната (S=ha/2) си намерих височината. Нататък по формулата за лице на трапец. [;)]