Задача 245 (Против махмурлук по Великден)

Ванката и Пешо решили да се отърват от великденския махмурлук (всяка прилика с действителни лица е преднамерена [:P]), с най-доброто средство разбира се, пред което бирата и шкембето бледнеят - ЛЗ@СетКом, та играли следната игра:

Ванката си намислил две положителни числа и на 4 отделни листчета написал сбора, разликата, произведението и частното им, като с разсеян вид ги подал разбъркани на Пешо и го попитал кои са двете намислени от него числа. Може ли със сигурност Пешо да даде еднозначен отговор винаги и защо?



//Ще отсъствам през значителна част от деня, така че ще се наложи да търпите забавените ми реакции по отношение отговорите, за което се извинявам в аванс.

M - сума

N - разлика

K - частно

P - произведение

а - първо число

b - второ число



а²=K.P

b²=K/P



(a+b)²=а²+2ab+b²

(a-b)²=а²-2ab+b²



(M)²=K.P+2P+K/P

(N)²=K.P-2P+K/P



бих намерил а и b , като замествам последователно в последните две, докато се получат верни уравнения. Дали обаче ще се получава винаги еднозначно решение не мога да преценя за момента

При положение, че:



а²=K.P

b²=K/P



и знаем К и Р => с лекота откриваме a и b /да не забравяме, че те по условие са положителни/ => К и Р са напълно достатъчни за еднозначно определяне на двете неизвестни.



Така мисля...



//ЕДИТ: малко поизбързах и сега виждам, че К, Р, М и N са разбъркани и не знаем кое какво е.



1. За всички цели а и б различни от 1 произведението Р е най-голямото от 4те дадени числа, сумата М е второто по големина => напълно достатъчно да се реши уравнението на Cvetanov:

M²=K.P+2P+K/P, за да се открие кое от оставащите две е К



2. За б=1 винаги ще имаме М>(Р=К)>N - цели числа



3. За а=1 винаги К<1, М>Р>N - цели числа



Така че аз бих избрал следната стратегия за намиране на а и б:

- ако 4те числа са цели, проверявам за случай 2, ако не е той, действам по случай 1

- ако имаме една дроб >1 => имаме случай 1

- ако имаме една дроб <1 => проверявам случай 1 и, ако уравнението на Cvetanov не излезе, решавам за случай 3

Защо ли горните ми се виждат с много ако-та и с много проби?! [;)]



На пръв поглед се сещам за нещо по-просто:



M*N*K*P = (a+b)(a-b)(ab)(a/b) = (a² - b²)a²



M+N+K+P = (a+b) + (a-b) + ab + a/b = 2a + ab + a/b



Мисля, че тази система има решение и по-лесно се смята без необходимост да се преценява кое от четирите числа какво е, само дето сега на прима-виста не мога да определя какви са корените на уравнението от 4-та степен и дали решението ще е еднозначно.

Задачата се решава с много 'ако'-та тъй или иначе, но тъй като сега се прибирам и не съм гледала нито едно решение ще отбележа само, че числата по условие са положителни, не е казано цели [:)].

Реших, че става дума за цели числа, защото за произволни положителни ми се получава малко объркано и прекалено дълго за доказване...



Трябва да се разгледат случаите, когато а<1 и б<1, само а или б <1, а>1 и б>1. За всеки от трите случая се разглеждат вариантите N<=0, N>0 с подварианти К<=1, К>1...



Общо 12 случая. Във всичките може да се докаже, че а и б могат да бъдат еднозначно определени. Проблемът е, че не ми се поства дисертация по аритметика [:P]



С една дума - ДА, могат да бъдат определни еднозначно, ако знаем M, N, P и K.

<blockquote id="quote"><font size="1" id="quote"><b id="quote">quote:</b id="quote"></font id="quote"><table border="0" id="quote"><tr id="quote"><td class="quote" id="quote"><font size="1" id="quote">Реших, че става дума за цели числа, защото за произволни положителни ми се получава малко объркано и прекалено дълго за доказване...



Трябва да се разгледат случаите, когато а<1 и б<1, само а или б <1, а>1 и б>1. За всеки от трите случая се разглеждат вариантите N<=0, N>0 с подварианти К<=1, К>1...



Общо 12 случая. Във всичките може да се докаже, че а и б могат да бъдат еднозначно определени. Проблемът е, че не ми се поства дисертация по аритметика [:P]



С една дума - ДА, могат да бъдат определни еднозначно, ако знаем M, N, P и K.



<div align="right">Originally posted by Edin_Lud*-*02/05/2005*:* 21:40:51</div id="right">

</td id="quote"></tr id="quote"></table id="quote"></blockquote id="quote"><font size="2" id="quote"></font id="quote">



Според мен има и случай когато a и/или b са между 1 и 2... [;)]



Иначе - по моята система има решение - първото уравнение има само един положителен корен, а второто има два положителни корена (в случая - b). След което трябва да сметнем техните суми, разлики и т.н. и да сравним с дадените ни числа, за да видим кой от двата корена е решение. Въпроса е има ли случай при който и двата корена да са решение? Мисля, че да, ако b=1. Така или иначе - отговора на задачата е - има еднозначно решение - нали това се питаше. Може да се докаже с горните уравнения. [;)]

Решението на Cvetanov твърдо не е решение, вижда се веднага след като се съобрази, че става дума не за цели, а за реални положителни числа, с едно заместване на K и P с M и N и приравняване на едното от двете равенства се виждат безброй комбинации, с цели числа щеше да стоят другояче нещата.

Решенията в следващите два поста на Edin_Lud и kamenf също са базирани на цели числа и не ги обсъждам.

Да, има еднозначно решение, но никой не си е дал труд да напише каквото и да е, за да се опита поне да го илюстрира...

Дисертация не е нужно да се пише, задачата си е само логика и елементарни, ама наистина елементарни математически операции, мисля, че убедих Живко в това, но ако на никой не му се пише - това вече е друг въпрос, ще постна отговора за да продължим нататък.

Докторе, защо [?]



Имаме дадени четири числа a, b, c, d, отговарящи на M, N, P и K. Търсим А и В...

За целта анализираме дадените числа:

1) Имаме едно отрицателно (а<0) => еднозначно определяме N = a и К < 1

1.1) всички b, c, d <= 1:

=> М < 1, можем да представим A = x.10^-n, B = y.10^-m (x,y цели числа)

от К =(x/y).10^m-n < 1 => |n|>=|m|

P = (xy).10^-(n+m), M = z.10^-m, K = (x/y).10^-(n-m) => P = min (b,c,d)

/тук z е ново цяло число, което не ни интересува за нуждите на доказателството/

след като сме намерили P и N => еднозначно определяме А и В.

1.2) b >1; c, d <= 1:

ако P > 1, то поне едно от А или В > 1 => и М > 1 => Р < 1, но и К < 1

=> М = b

след като сме намерили M и N => еднозначно определяме А и В.

1.3) b, c > 1; d < 1:

очевидно М и Р > 1, от М^2>=4P и М^2 - N^2 = 4Р определяме еднозначно М и Р

след като сме намерили P и М => еднозначно определяме А и В.



2) имаме едно число (а=0) => К = 1, от М^2 = 4Р определяме М и Р

след като сме намерили P и М => еднозначно определяме А и В.



3) всички a, b, c, d > 0 => A>B , К > 1

3.1) a > 1; b, c, d <=1:

К = а > 1 и А и В < 1

=> А+В > А, А*В < А, А-В < А => М = max (b, c, d)

след като сме намерили K и M => еднозначно определяме А и В.

3.2) a, b > 1; c, d <= 1:

//ЕДИТ: очевидно е, че К е от групичката а, b и N e oт групичката c, d (защото N < M).

3.2.1) Приемаме, че Р > 1 => М < 1 => N = min (c, d) и M = max (c, d). Проверяваме ((М+N)/2)^2 = PK /защото M+N = 2A, a PK = A^2/. Ако да => знаем М и N и намираме А и В, ако не:

3.2.2) K и М съответстват на двойката a, b и P, N - на двойката c, d

от М^2 - N^2 = 4P чрез заместване откривам всички М, N, P, K

//

3.3) a, b, c > 1; d < 1 => N = d и K = min (a, b, c)

след като сме намерили К и N => еднозначно определяме А и В.

3.4) всички a, b, c, d > 1:

аналогично на (3.3) доказваме, че N и К са двойката по-малки числа

=> от двойката по-големи числа и М^2 >= 4P и М^2 - N^2 = 4Р определяме М и Р

след като сме намерили P и М => еднозначно определяме А и В.



Не били 12 случая, а "само" 8...вчера не бях разписал всичките подробно. Освен това не ми хареса заместването в 3.2, въпреки че е вярно.



//ЕДИТ малко си коригирах тъпотиите да елиминирам още един невъзможен вариант.

След празниците главицата ми е празна, за разлика от търбуха.

Тъй като мразя сметките реших да събера 4-те известни ни чисълца.

m+n, m-n, mxn, m/n

Сумата им даде m/n.(n+1)^2

та това ме наведе на мисълта ако Пешо събере всички числа и разложи сумата на множители дали ще може да разпознае числата.

След една бира може и да поумувам още[:(!]

<blockquote id="quote"><font size="1" id="quote"><b id="quote">quote:</b id="quote"></font id="quote"><table border="0" id="quote"><tr id="quote"><td class="quote" id="quote"><font size="1" id="quote">

1.3) b, c > 1; d < 1:

очевидно М и Р > 1, от М^2>=4P и М^2 - N^2 = 4Р определяме еднозначно М и Р

<div align="right">Originally posted by Edin_Lud - 03/05/2005 : 10:18:36</div id="right">

</td id="quote"></tr id="quote"></table id="quote"></blockquote id="quote"><font size="2" id="quote"></font id="quote">

Не винаги от това можеш да определиш М и Р, обаче то няма и нужда.

Вече знаеш N = a и К = d, те ти стигат, за да намериш А и В.



<blockquote id="quote"><font size="1" id="quote"><b id="quote">quote:</b id="quote"></font id="quote"><table border="0" id="quote"><tr id="quote"><td class="quote" id="quote"><font size="1" id="quote">

2) имаме едно число (а=0) => К = 1, от М^2 >= 4Р опреедляме М и Р

след като сме намерили P и М => еднозначно определяме А и В.

<div align="right">Originally posted by Edin_Lud - 03/05/2005 : 10:18:36</div id="right">

</td id="quote"></tr id="quote"></table id="quote"></blockquote id="quote"><font size="2" id="quote"></font id="quote">

Тук същите възражения. Но и този случай е поправим.

А = В, М = 2А, Р = А^2.

Смятаме Р + М + 1 и го коренуваме. Вадим 1 и получаваме А.



@Wise,

твоето е съвсем невъзможно, числата не са цели.



Аз имам принципен въпрос към Нина: Ако на листчето с разликата пише "А-В", сигурно ли е, че на листчето с частното пише "А/В" и в никой случай "В/А" [?]

<blockquote id="quote"><font size="1" id="quote"><b id="quote">quote:</b id="quote"></font id="quote"><table border="0" id="quote"><tr id="quote"><td class="quote" id="quote"><font size="1" id="quote">Аз имам принципен въпрос към Нина: Ако на листчето с разликата пише "А-В", сигурно ли е, че на листчето с частното пише "А/В" и в никой случай "В/А" [?]



<div align="right">Originally posted by Bibi*-*03/05/2005*:* 12:57:23</div id="right">

</td id="quote"></tr id="quote"></table id="quote"></blockquote id="quote"><font size="2" id="quote"></font id="quote">



Да, съвсем сигурно е [:)].

Само идейка (но може и да върши работа за какви да е числа a и b - не само положителни, но без нулата за b):



Ако са ни дадени 4 числа А,B,C,D и знаем че разбъркано съответстват на M,N,P,К, не можем ли да изследваме <s>три</s> шест равенства и да установим кое от тях е вярното:



((А+B)/2)² =? C*D

((А+C)/2)² =? B*D

((А+D)/2)² =? B*C

((B+C)/2)² =? A*D

((B+D)/2)² =? A*C

((C+D)/2)² =? A*B



Тогава ще знаем точно кои две числа съответстват на М и N (тези от левите страни) и понеже М>N ще знаем кое точно е М и кое е N. От там нататък е ясно.



За да се докаже че решението е единствено, трябва да се докаже, че точно едно от горните равенства е вярно (а другите <s>2</s> 5 не са).



---

//EDIT - Малко бях забравил да поразделя на 2 ;)



//EDIT - Който спи и не мисли.... шест са неравенствата, шеееест.... верно, че малко са множко, но пък процеса много хубаво се автоматизира [:P]

Проверих със сетни сили на Живко коригирания пост, не съм убедена само в точка 3.2.2 - това заместване не вдъхва доверие, освен M^2-N^2=4*P не виждам що да не е K^2-P^2=4*N за някой частен случай на A и B.

Аз тук се измъчвам да докажа колко съм прав за 3.2.2, но не успявам. Някак си съм убеден, че не е възможно хем К^2-P^2 = 4N, хем и М да съвпадне, но не мога да го изпиша - няма знания.