В самолет се качват 120 пътника. Влизат по един и си сядат на означените в билета места. Самолетът има точно 120 места.
На една от пътничките и прилошава и стюардесата я настанява на най-близкото свободно място. След това предупреждава
останалите пътници, че ако мястото им е заето, да сядат на произволно свободно място. Всички спазват указанието.
Вие сте последен/на на опашката. Каква е вероятността да седнете точно на своето място?
Е, една блондинка каза 50% /или ще седне, или - не /.........Първоначално публикувано от dmitankin
//нека малко аргументи де.....
Исках да оставя възможност и на другите да се помъчат. Моят отговор е с приближение, тъй като не ми се смята НОК на числата от 2 до 120 и ползвах онлайн калкулатор.
Не трябва ли да се уточни в условието кой номер поред е пътничката на която е прилошало ?
Щото ако е с предпоследен номер ...
То това е задачата - да събереш всички възможни случаи (119) и да разделиш вероятността за всеки от тях на броя им. Така се получава (1/2 + 1/3 + ... + 1/120) / 119. Това в скобите е хармоничният ред без първия си член.
"......След това предупреждава останалите пътници, че ако мястото им е заето, да сядат на произволно свободно място......"
Някак не се връзва с предпоследен номер, ама..........има заченка на мисъл.....
Задачката може да се реши чисто логически, но и може математически да се подкрепи доказателството!
Жокер:
"Щото ако е с предпоследен номер ...
а ако е с пред-предпоследен номер............"
Хе-хе, ако е с пред-пред-последен, прилагаме любимата ни вече формула на Бейнс
Ако те улеснява- сметни за 100-тния пътник.
//няма закачка с пола - никакво значение няма дали е кака или батко!
//ама е важно да зафаниш отподере........
Втори опит
Нека пътничката на която е прилошало да е с пореден номер N
След нея има 120-N човека. А ако не броим мен (нали аз съм 120-тия), то след нея има 119-N човека.
Тия 119-N, човека може да седнат по (119-N)! различни начина на техните места
( (119-N)! е броя на пермутациите )
Обаче от тия (119-N)!, трябва да извадим (118-N)!
(, защото (118-N)! = (119-(N+1))! е броя на пермутациите, при които N-тата пътничка си е на нейното място, а само тия след нея до 119 се джуркат, а това са невъзможи ситуации).
Дотук имаме брой на благоприятни изходи (тия при които аз съм си заварил стола празен):
(119-N)! - (118-N)!
А пък общия брой е:
(120-N)! - (119-N)!
И окончателно получавам, че вероятността е:
вероятност = ((119-N)! - (118-N)!) / ((120-N)! - (119-N)!)
... много аритметика
ПП. Израза май може да се опрости значително:
вероятност = ((119-N)! - (118-N)!) / ((120-N)! - (119-N)!) = (118-N) / ((119-N)2)
Добре де - нека имаме 4 свободни места в момента на какоприлошаването.
Нека М1-М4 са местата, а П1-П4 са пътниците.
//Ние сме П4 на място М4//
хайде да смятаме
Добре, да смятаме:
Брой благоприятни изходи:
П1 --М2, П2 --> М1
П1 --М3, П3 --> М1
П1 --М2, П2 --> М3, П3 --М1,
П1 --М3, П3 --> М2, П2 --М1,
Четири на брой.
Точно толкова и по формулата (119-N)! - (118-N)!, при N=117
(119-116)! - (118-116)! = 3! - 2! = 6-2 = 4
(хм, ... при така дадения пример, каката трябва да е с номер 117, а не 116) ...
Формулката ли отхвърляш, или решението като цяло ?
Приел съм, че каката задължително сяда на чуждо място.А защо не виждам П1-М1
Сега пак прочетох условието - то допуска тя да седне и на нейното си място.
Което би трябвало значително да опрости формулата.
Сори Wise, трябва да изляза от форума сега. Ще продължа утре, а ако някой друг има желание, нека да оправи решението с правилното тълкуване.
Трети опит
Нека каката е с пореден номер N
1,2,...,N-1,N,N+1,...119,120
Броя на всички разбърквания на местата от N до 120 е (120-(N-1))!
Обаче от тия всчки разбърквания имаме и такива които не могат да се случат и са невъзможни - това са тия, при които каката си е седнала на нейното N-то място, а пътниците след нея са се разбъркали:
1,2,...,N-1,N,a,b,c,...
Така че, тия невъзможните трабва да ги преброим и да ги махнем от "всичките"
Т.е.
"всички възможни" = "всички" - "всички невъзможни"
Те "невъзможните" се броят много лесно, те са (120-N)!
"възможни" = (120-(N-1))! - (120-N)!
Сега да броим "благоприятните". Те са:
1,2,...,N-1,a,b,c,...120
Техния брой е (119 - (N-1))!
Окончателно имаме
"вероятност" = "благоприятни" / "възможни"
т.е.
"вероятност" = (119 - (N-1))! / ((120-(N-1))! - (120-N)!)
А като се опрости, се получава
"вероятност" = (119-(N-1))! / ((120-(N-1))! - (120-N)!)
= (119-(N-1))! / ((121-N)(120-N)! - (120-N)!) =
= (120-N)! / ((120-N)!.(121-N-1) =
= 1 / (120-N)
т.е.
"вероятност" = 1 / (120-N)
ПП. Май пак нещо съм объркал, щото при N=119 трябва да се получи нулева вероятност,
_________________________________________________[color=red]слети поредни публикации на: [time]1307532480[/time]_________________________________________________
Хе-хе, четвърти опит
Броя на "благоприятните" го изкарвам 1+(1+2+3+4+5+...+(119-N)) = 1+(119-N)(120-N)/2
Броя на "неблагоприятните" го изкарвам 2(119-N) ("две на степен (119-N)")
Броя на "всичките възможни" = "благоприятните" + "неблагоприятните"
==> "вероятност" = (1+(119-N)(120-N)/2) / ((1+(119-N)(120-N)/2)+ 2(119-N))
Ако дотук Wise не намери очеизвадна грешка във формулата, ще напиша детайлите.
Засега само ще кажа, че броя на "благоприятните" и броя на "неблагоприятните" ги намирам чрез триъгълника на Паскал и само със събиране чрез метода за събиране от задачата за баничките и рестото, който така и не беше публикуван от мен.
Новини
Форум
Актуално
сървър
Отговор с цитат
