Яйца в кошница (от ivailo_mihailov1)

[Bibi]

Условието:
https://forum.setcombg.com/index.php...html#msg572178

... Един човек слагал яйца в една кошница. Когато слагал по 2, по 2, по 2, не се знае колко пъти по 2 отвън кошницата останало 1. Когато слагал по 3, по 3, по 3 не се знае колко пъти по 3, отвън кошницата останали 2, и така нататък когато слагал по 4 оставали 3, когато слагал по 5 оставали 4, когато слагал по 6 оставали 5, когато слагал по 7 оставали 6, когато слагал по 8 оставали 7, когато слагал по 9 оставали 8, когато слагал по 10 оставали 9, но когато слагал по 11, не се знае колко пъти по 11 всички яйца влезели в кошницата, а отвън не останало нито едно...

Това е задача от делимости. Имам някакво решение и макар че не ми харесва особено, ще го публикувам.

1. Условията за остатъците при 2, 3, 4 и 5 не са нужни, защото се съдържат в някои от следващите условия. Например: всяко число, което дава остатък 7 при деление на 8, непременно ще дава остатък 3 по модул 4.

2. Зпочвам да комбинирам онези, които останаха.
Първо 9 и 6.
Търсеното число има вида 9k + 8.
Ако k е четно (k = 2s), то числото ще е от вида 18s + 8. Но това е 6t + 2 и е отговаря на 6t + 5.
Значи k е нечетно (k = 2s + 1). Да проверим: 18s + 17 -> 6t + 5. Точно това търсим.
В крайна сметка получаваме, че търсеното число е от вида 18s + 17.

Сега ще обединя 10 и 8.
Търсим 10k + 9. За k разглеждам 4 случая: k = 4s; 4s + 1; 4s + 2; 4s + 3.
Само едно от тях дава остатък 7 по модул 8 и това е числото 40s + 39.

Току-що получените две 18k + 17 и 40k + 39 също ги обединявам.
За целта се налага да разгледам 9 случая за k: k = 9s; 9s + 1; ... 9s + 8.
Получавам 9 израза: 360s + 39; 360s + 79; ... 360s + 359, от които само последният отговаря на желаното 18k + 17.
Така че нашето число трябва да е 360s + 359.

Освен това трябва да се дели на 11 и да дава остатък 6 по модул 7.

Първото от горните, което се дели на 11 е 2519.
За наш късмет 2519 = 7.359 + 6.

Значи най-малкият отговор е 2519.

Убедена съм, че има и по-хитро решение обаче.
_________________________________________________[color=red]слети поредни публикации на: [time]10 април 2012, 10:02:42[/time]_________________________________________________

Охо! Разбира се, че има!

Най-големият общ делител най-малкото общо кратно на числата 2, 3, 4,... 10 е 2520.
Значи ясно е, че 2519 = 2520 - 1 ще дава остатъци -1 за всички посочени числа.
И понеже сме късметлии, то се дели на 11.

[ivailo_mihailov1]

Мерси много ;]

[Krusteva]

Най-големият общ делител на числата 2, 3, 4,... 10 е 2520.

Искаш да кажеш най-малко общо кратно ;-)

[Bibi]

Искаш да кажеш най-малко общо кратно ;-)

Да, голяма съм блейка наистина. Поправих го.
Пък и акъла ми винаги идва със закъснение, та си посмятах 15-20 реда, а то само 2 стигали.
Мъка, мъкаааа...

Общият вид на числата, които стават за решение на задачата е
27720.k + 2519
като k = 0, 1, ...

(това 27720 е получено от 11*2520)

Значи следващото е чак 30239.

[Wise]

Ега ти кошницата...