Четири задачи

Понеже се очертават повече почивни дни,
днес ви предлагам 4 задачки от моята колекция:

1. Джуджета на колелета:
Седемте джуджета тръгнали на велопоход - в колона едно след друго през кратки интервали.
Едно от тях било с флагче - щафета. По време на похода, при всяко изпреварване - ако
изпреварваното или изпреварващото джужде е с щафетата - тя се предавало на другото.
По време на похода флагчето преминало поне по веднъж през всички.
Какъв е най-малкия брой изпреварвания (независимо с щафета или без щафета).

2. Решете системата:
A+B=12
B-A=18
C+F=36
C-B=27
F-D=?



3. Коя дума е зашифрована в долния код?
FF 40 30 40 FF; FF 88 88 88 70; 3F 48 88 88 FF; 81 91 B1 D1 8E


4. Намерете Z=?
180°Z+2E+K=V+I+I

* * *
ВЕСЕЛИ ПРАЗНИЦИ!

По първата:

Флагчето през цялото време си запазва позицията, без значение кой кого изпреварва.
Ако например е било в първия, то си остава в "новия първи", когато втория изпревари първия и стане нов първи. Същото важи и за останалите позиции в колоната.

Ако флагчето е на първа позиция, то 7-мия трябва да направи най-малко 6 изпреварвания, шестия (шестия при старта) трябва да направи най-малко 5 изпреварвания, петия - четири изпреварвания и т.н., т.е. броя на изпреварванията е 21=6+5+4+3+2+1. Същото важи и ако флагчето е на последна позиция.
Ако обаче флагчето е на 4-та позиция при старта (т.е. точно в средата), то първия трябва да направи 3 изоставания, втория 2, третия 1, четвъртия 0, (реда е на обратно - първо изостава един път третия, после два пъти втория, после три пъти първия).
Същото важи и за петия, шестия и седмия, но там говорим за изпреварване между джуджетата, а не за изоставане. При което общия брой изпреварвания е 12=3+2+1+0+1+2+3

Ако флагчето при старта е на коя и да е друга позиция а не в средата, то част от събираемите в сумата ще са значително по-големи и самата сума ще е по-голяма. Всичкото това може да се докаже строго математически, като се направи функция зависеща от позицията на флагчето и се намери минимума на тази функция.
Но мисля, че не е нужно чак толкова да го формализираме, защото е достатъчно ясно и интуитивно, че когато флагчето е в средата имаме минимален брой изпреварвания.

По третата - на картинката пише "МРАЗ"

Браво, MitkoS!
Дотук добре.
:)
Остана една трудна и една лесна задачка.