БАМ - изненада от мен :)

https://forum.setcombg.com/attachmen...id=19659&stc=1

Може да намерим координатите на пресечните точки на двете окръжности с което ще намерим делжината на хордата a определена от тях, а от там и лицата на двата сегмента съответна на голямата и на малката окръжност, вадим ги и готово.

За да намерим координатите на пресечните точки нека голямата окръжност е с център А с координати (0,0) и радиус R = 2 , а малката да е с център B с координати (√2,0) и радиус r = 1. Пояснение: координатната система е с начало центъра на голямата окръжност и абцисата минава през центъра на малката. Тогава уравненията на двете окръжности са съответно:

1) x² + y² = R² = 2² = 4

и

2) (x-√2)² + y² = r² =1² = 1

От двете:

3) y² = 4-x²

което заместваме в 2) и

4) (x-√2)² + 4-x² = 1


Не ми се прави хамалогията, но намираме корените на 4) (би трябвало в тази координатна система да са или два съвпадащи, т.е. x₁ = x₂, или само един реален x₁) от там намираме от 3) две y координати които би тябвало да са противоположни, т.е. y₁ = -y₂. Или дължината на хордата би трябвало да е a = |y₁-y₂|:

Лицата на сегментите после се намират по формулата:

5) S₁ = R² * arccos( x₁/R) - x₁*√(R²-x₁²)

и

6) S₂ = r² * arccos( (x₁-√2)/r) - (x₁-√2)*√(r²-(x₁-√2)²)


А търсеното лице:

7) S = S₂ - S₁


ПП: Хм... даже се оказа, че дължината на хордата не ни е нужна :)

дните, в които бях наистина силен по математика, са доста назад в миналото, но мястото, откъдето изкопах задачката, се вихреше една висша математика, като накрая решението беше с приближение...

затова сметнах, че е някакво истински сериозно предизвикателство и я донесох тук

мисълта ми е, че не мога да преценя доколко е вярно твоето решение, но много се различава от това на сайта, откъдето я взех... ;)

Аз пък мислех, че моето е сложно и има някоя хитрина за по-просто решение :D Сигурен съм, обаче, че това дава точен резултат ;) Ако не се разбира много-много, мога да сложа някое и друго по-подробно обяснение, както и чертежче за по-голяма яснота, а?

- - - - - - - - - -

Ето малко по-подробно:

https://forum.setcombg.com/attachmen...id=19660&stc=1

Дадени: октъжност k₁ с радииус R и център А с координати (0,0) и k₂ с радиус r = R/2 и център B с координати (√(r²+r²),0) - /простичко казано това е центъра на четвъртинката квадрат/.
Окръжностите се пресичат в точки P и Q.
Търсим лицето S на фигурата PLQK.
To e равно на разликата от лицата S₂ на сегмента PQL от k₂ и S₁ на сегмента PQK от k₁.

Формулата за лице на сегмент на окръжност с радиус R, ъгъл α и височина h към хордата a e разликата от лицето на сектора и лицето S_Δ на триъгълника определен от хордата и центъра на октъжността:

S_s= R²*α / 2 - S_Δ = R²*α / 2 - a*h/2

Следователно, за да намерим лицата на сегментите ни трябват 1) височините h₁ и h₂ към хордата PQ съответно h₁=АM за k₁ и h₂=BM за k₂, 2) дължината на хордата PQ и 3) ъглите PAQ и PBQ.

AM = x₁; BM=x₁-AB = x₁-√(r²+r²)

PQ = |y1|+|y2| = 2*y₁

∢PAQ = 2*arccos(AM / R); ∢PBQ = 2*arccos(BM / r)

Следователно трябва да намерим x₁ и y₁, които са координатите на т. Q. За целта ползваме формулата за окръжност с център (x₀,y₀) и радиус R₀:

(x-x₀)² + (y-y₀)² = R₀²

Която за двете окръжности дава уравненията 1) и 2) от предишният пост. Решени като система дават координатите на точки P и Q. Нататък трябва да е вече по-ясно какво се случва в предишния пост - по обратния ред на тези обяснения.

https://forum.setcombg.com/attachmen...id=19683&stc=1
Като направих чертежа, направих лесно система от две уравнения за х и у получих:
y=√(7/8)
Не беше трудно да се намери функцията на разстоянията по х между двете дъги
x=√2+√(1-y2)-√(4-y2)
Сметнах първите три итерации по Симпсън:
0,5166 - при делене на две
0,5701 - при делене на четири
0,5827 - при делене на осем


Точната стойност е
0,5*√7-4*arcsin(√(7/32)+arcsin(√(7/8)=0.5855

За мен това е най-бързият начин за решение на подобна задача:

Видео споделяне / VBOX7

:Drinks:

Цитат:

---

Първоначално публикувано от zxc0

За мен това е най-бързият начин за решение на подобна задача:

Видео споделяне / VBOX7

:Drinks:

---

Естествено, че този начин го направих веднага!

Във всеки случай очаквах, че при криви от втора степен Симпсон ще даде по-бързо сходящ резултат.
Обратните тригонометрични функции винаги съм ги оставял само за краен случай.
Това значи, че нормалната планиметрия се е предала пред две кръгчета.