Може да намерим координатите на пресечните точки на двете окръжности с което ще намерим делжината на хордата a определена от тях, а от там и лицата на двата сегмента съответна на голямата и на малката окръжност, вадим ги и готово.
За да намерим координатите на пресечните точки нека голямата окръжност е с център А с координати (0,0) и радиус R = 2 , а малката да е с център B с координати (√2,0) и радиус r = 1. Пояснение: координатната система е с начало центъра на голямата окръжност и абцисата минава през центъра на малката. Тогава уравненията на двете окръжности са съответно:
1) x2 + y2 = R2 = 22 = 4
и
2) (x-√2)2 + y2 = r2 =12 = 1
От двете:
3) y2 = 4-x2
което заместваме в 2) и
4) (x-√2)2 + 4-x2 = 1
Не ми се прави хамалогията, но намираме корените на 4) (би трябвало в тази координатна система да са или два съвпадащи, т.е. x1 = x2, или само един реален x1) от там намираме от 3) две y координати които би тябвало да са противоположни, т.е. y1 = -y2. Или дължината на хордата би трябвало да е a = |y1-y2|:
Лицата на сегментите после се намират по формулата:
5) S1 = R2 * arccos( x1/R) - x1*√(R2-x12)
и
6) S2 = r2 * arccos( (x1-√2)/r) - (x1-√2)*√(r2-(x1-√2)2)
А търсеното лице:
7) S = S2 - S1
ПП: Хм... даже се оказа, че дължината на хордата не ни е нужна
Този пост е редактиран от kamenf; 17-04-16 в 04:02.
дните, в които бях наистина силен по математика, са доста назад в миналото, но мястото, откъдето изкопах задачката, се вихреше една висша математика, като накрая решението беше с приближение...
затова сметнах, че е някакво истински сериозно предизвикателство и я донесох тук
мисълта ми е, че не мога да преценя доколко е вярно твоето решение, но много се различава от това на сайта, откъдето я взех...
Аз пък мислех, че моето е сложно и има някоя хитрина за по-просто решение :D Сигурен съм, обаче, че това дава точен резултат
- - - - - - - - - -
Ето малко по-подробно:
Дадени: октъжност k1 с радииус R и център А с координати (0,0) и k2 с радиус r = R/2 и център B с координати (√(r2+r2),0) - /простичко казано това е центъра на четвъртинката квадрат/.
Окръжностите се пресичат в точки P и Q.
Търсим лицето S на фигурата PLQK.
To e равно на разликата от лицата S2 на сегмента PQL от k2 и S1 на сегмента PQK от k1.
Формулата за лице на сегмент на окръжност с радиус R, ъгъл α и височина h към хордата a e разликата от лицето на сектора и лицето SΔ на триъгълника определен от хордата и центъра на октъжността:
Ss= R2*α / 2 - SΔ = R2*α / 2 - a*h/2
Следователно, за да намерим лицата на сегментите ни трябват 1) височините h1 и h2 към хордата PQ съответно h1=АM за k1 и h2=BM за k2, 2) дължината на хордата PQ и 3) ъглите PAQ и PBQ.
AM = x1; BM=x1-AB = x1-√(r2+r2)
PQ = |y1|+|y2| = 2*y1
∢PAQ = 2*arccos(AM / R); ∢PBQ = 2*arccos(BM / r)
Следователно трябва да намерим x1 и y1, които са координатите на т. Q. За целта ползваме формулата за окръжност с център (x0,y0) и радиус R0:
(x-x0)2 + (y-y0)2 = R02
Която за двете окръжности дава уравненията 1) и 2) от предишният пост. Решени като система дават координатите на точки P и Q. Нататък трябва да е вече по-ясно какво се случва в предишния пост - по обратния ред на тези обяснения.
Като направих чертежа, направих лесно система от две уравнения за х и у получих:
y=√(7/8)
Не беше трудно да се намери функцията на разстоянията по х между двете дъги
x=√2+√(1-y2)-√(4-y2)
Сметнах първите три итерации по Симпсън:
0,5166 - при делене на две
0,5701 - при делене на четири
0,5827 - при делене на осем
Точната стойност е
0,5*√7-4*arcsin(√(7/32)+arcsin(√(7/8)=0.5855
За мен това е най-бързият начин за решение на подобна задача:
Видео споделяне / VBOX7
Естествено, че този начин го направих веднага!Първоначално публикувано от zxc0
Във всеки случай очаквах, че при криви от втора степен Симпсон ще даде по-бързо сходящ резултат.
Обратните тригонометрични функции винаги съм ги оставял само за краен случай.
Това значи, че нормалната планиметрия се е предала пред две кръгчета.
Новини
Форум
Актуално
сървър
4Одобрявам
Отговор с цитат