Още една задача за шапки

[ql^2/8]

Задача:
Трима математици били поставени пред следния проблем:
На всеки от тях се слага по една шапка - черна или бяла (на случаен принцип) и
се въвеждат се последователно в една стая. Всеки е видял шапките на другите, но
собствената не. След това са изолирани в отделни помещения, без връзка помежду си.
Задачата е всеки от тях да се опита да познае цвета на шапката си или да замълчи.
Ако някой от тях сгреши или и тримата премълчат, губят. Нямат предварителна
стратегия. Какъв е шансът им за успех?

[MitkoS]

50%

Говори само този който е видял две еднакви шапки на другите двама (има поне един такъв видял две еднакви).
И казва за себе си противоположния цвят.
Съответно ако сбърка, то и другите ще кажат нещо невярно (щото и тримата са с еднакви шапки)
А ако не сбърка, другите ще мълчат (другите мълчат щото са видяли разноцветни шапки).
А пък
сбърка / несбърка = 50% / 50%

[spiritch]

Ако вероятността да са с еднакви шапки е 25%, то по горната логика вероятността за успех е 75%.

[DundyTheCroc]

Според мен горните решения не са правилни, понеже от една страна изискват предварително уговорена система, от друга няма никакво значение какви са цветовете на шапките на другите, понеже познават само собствените си.
Остават два основни избора пред всеки: или да гадае за цвета, или да замълчи Понеже са математици, то всеки ще сметне, че вероятността и тримата да познаят цвета е точно толкова, колкото и тримата да замълчат и да изгубят, така че вероятно всеки ще даде собствено предположение. В такъв случай вероятността за успех според мен е 1/8.

[MitkoS]

Ако вероятността да са с еднакви шапки е 25%, то по горната логика вероятността за успех е 75%.

Да,
Вероятността всички да са бели или всички да са черни е 1/4 (25%).
При което шанса за успех е 75% ... моя грешка с това 50%.

[ql^2/8]

Бонус задача:
Монета с радиус 2 има 4 пъти по-голяма площ от монета с радиус 1.
Колко монети с радиус 1 трябват за да се покрие изцяло монета с радиус 2?

[spiritch]

ами 7

[Bibi]

Да

[ql^2/8]

Опитът със 7 се приема. Може ли някой да докаже, че е минимум?
Или да предложи решение със 6? Все пак малките монети на тази
картинка покриват повече от 1,5 пъти площта на голямата.

[Wise]

Бонус задача:
Монета с радиус 2 има 4 пъти по-голяма площ от монета с радиус 1.
Колко монети с радиус 1 трябват за да се покрие изцяло монета с радиус 2?

ами 4 - отиваме до банката

[zxc0]

За да покрием окръжността на голямата монета са необходими 6 от малките.
И то само ако пресичат голямата точно през диаметъра си. Така в центъра остава място за още една.
Ако малките пресичат голямата на място различно от диаметъра си, тогава 6 няма да стигнат само за покриване на окръжността на голямата. Поне 7 ще трябват само за нея.

[Bibi]

На картинката се вижда, че не са подредени по диаметъра си, а са навътре. Иначе щяха само да се докосват, а не да се припокриват.
(Разстоянията между центъра на голямата и центъра на някоя от периферните малки е корен от 3.)

Със 6 монети мисля, че може да се покрие голяма монета с радиус 1.6 * радиуса на малките. А ние искаме по-голяма.
По-късно, ако св. Исидор Севилски чуе молбите ми, ще се напъна да го докажа. И ако до тогава някой не го е свършил.

[MitkoS]

Пресечните точки на малките с голямата са точно по диаметъра на малките.
(върхове на вписан правилен шестоъгълник изграден от шест равностранни триъгълника ==> "по диаметъра")

Като че ли може да се докаже лесно, че за да се покрие периметъра на голямата монета (периметъра е неправа линия), са необходими най-малко шест малки и разположени точно по-показания (от Bibi) начин като върхове на вписан правилен шестоъгълник.
Периметъра е с дължина 2.pi.R (R=2).
Максимума от периметъра който може да покрие една малка монета се достига когато малката се пресича с този периметър в нейни две диаметрално противоположни точки
... ==> 6+1 = 7

[Bibi]

Разбрах ви

Аз пък казвам, че тази задача обикновено я решават наопаки.
Имаш примерно 6 малки монети и се пита коя е най-голямата окръжност, която могат да покрият.
Ако на някого му се дълбае за n монети примерно.