Задача 77

[Wise]

Строежът на новата писта за F1 край Сливен започва! Данчо Лечков доволно смърка енфието си - наближава Денят! Решено било трибуните да се изградят върху тръбни конструкции с форма на куб, като на всеки вертикален квадрат /без пода и тавана/ е прекаран и по един диагонал за устойчивост. Диагоналите нямат обща точка т.е. са наклонени по еднакъв начин - само наляво или само надясно. Нещо като строително скеле.

За откриването била изградена първата конструкция. Задухал Сливенският вятър и по летящите гаражи се разбрало, че трябва допълнително укрепване! Конструкторите изчислили, че трябва още с по една тръба да се свържат помежду си всеки два съседни диагонала. /не ставало да се свържат в обща точка като Х/ Инвеститорът изпъшкал - и с минимални разходи!!! Бригадирът допълнил - моите хора правят идеални заварки, но мерят с канапчето.......

Лечков възложил на общинарите да се справят с проблема - с изборите се справихме, че с една тръбичка и някакво си кубче....... На сутринта изхвърлил спринцовките, бутилките и фасовете от дискотеката и право в Общината. А там - всеки седнал с кървясали очи зад PC-то и натиска F5... Почесал се Данчо по мястото, което го наболява от световното '94 и поискал обяснение. Пешо "Умното" от неговата изборна листа отговорил - Как да решим къде да ги свържем, за да е най-късо? Три топа канап изхабихме, разчекнахме се от катерене! Добре, че вече си имаме компютри и интернет - намерихме чудесен форум, където е поставена тази задача. Чакаме отговора! /Човекът бил интелигентен - имал започнато гимназиално образование!/ - И обещайте биричка и кебапче на този, който пресметне колко тръба отива за една свръзка, ако се знае страната на куба, че ония от Европата на канапче не вярват! - допълнил Данчо.

Отговорете обосновано на въпроса:

Как заварчиците да бележат точно къде да правят връзките, като разполагат само с канапче? / имат си стълбичка, тебеширче.../

И не забравяйте, че пистата е голяма - много кубчета ще има. Минимални разходи!

За математиците - действайте докато кебапчето е топличко!

[Lupus]

Най-лесно и с най-малко материал ще стане ако се свържат вътрешно средите на диагоналите. Тогава вътрешната фигура е отново квадрат със страна C=a/2*(2)^1/2.

С канапа и тебешира няма проблем да се оразмери конструкцията.

1. Измерва се с канапа един диагонал и канапа се прегъва на две.

Бележи се с тебешира средата на диагоналите.

2. Измерва се разстоянието вътрешно между средата на два диагонала и се режат 4 парчета тръба.

3. Идват заварчиците.

[Cvetanov]

със същия успех може да се построи по половин диагонал във всяка от страните и ще се получи същата тръбичка.Ама трябва да се докаже защо е най-късо това разстояние.

[Lupus]

Изчислих и този вариант. Разхода на материал е същия, но конструкцията е по-нестабилна.

[Cvetanov]

Ама защо при такова построение материала е най-малко. Изглежда очевидно, но дали е така. А за стабилността може да съди човек със съответното образование и едва ли е важно в случая.

[Bibi]

Разстояние между две кръстосани прави в пространството се нарича разстоянието между най-близките им точки. Отсечката, която свърза тези точки, се нарича ос-отсечка. Тя винаги е перпендикулярна и на двете прави. (може да се види във всеки учебник по математика)

Затова това е най-късата тръба.

Няма две решения! Единствено е.



EDIT

Дължината на най-късата тръба е a/#3 (корен от 3), а вашите са по-дълги (а/#2)...

Точките на заварките делят диагоналните пръти на отсечки с дължини 1:2, считано от общия вертикален ръб (т.е. са на разстояние по 1/3 диагонал от върха).

[dedis]

Абсолютно вярно, драга Биби.

Но не знам как да разделя отсечка на три части с канап /математически коректно/[8)]

[Bibi]

Канапчето:

Мерим вертикалния общ ръб с канапчето. Сгъваме го (канапчето) на две и бележим средата на ръба.

Свързваме с канапчето тази точка (средата) с върха.

Там, където канапът пресече диагоналния прът, там ще е заварката (правило на медианите).



/EDIT

Ако Wise или друг искат да видят доказателство на фактите, че:

1. Най-късото разстояние между две кръстосани прави е отсечка, перпендикулярна и на двете.

2. Съществува единствена такава отсечка.

3. Построението, което съм дала е именно такова,

ще го докажа. Но ми се струва досадно и ще трябват чертежи...

При това 1. и 2. ги има по ученбиците.

[dedis]

Елементарно... след като ти го кажат []

[Wise]

Сега се връщам от общината:

Не знаят на кой да вярват -на Lupus, Cvetanov или Bibi!

Пешо -"Умното" пита - това, че 3>2 и аз го знам и к'во от туй, то и 4>3.........

И стига с тия сметки - логиката ни дайте - то всеки твърдеше, че неговото е най -късо!

[Wise]

Не виждам повече коментари. Приемам, че всички са разбрали защо точно а/#3 -не може да е случайност. Постарах се да направя задачата по-малко математическа. Ето логиката ми:

Стоя в центъра на стаята и си представям центъра на куб. Гледам към ъгъла и си начертавам мислено двата диагонала. Търсим права, перпендикулярна и на двата /особено след поста на Биби/. Има ли в куба такава? Да, има -телестният диагонал! Нашата отсечка ТРЯБВА да е успоредна на него, значи са в една равнина! Прекарваме мислено равнина през него и някаква точка на отвесния ръб срещу нас! Поглеждаме наляво и надясно - пълна симетрия! Значи точката е в средата!

Дотук задачата логически е решена -канпчето е ясно.

За кебапчето - Равнината пресича куба и образува триъгълник. Следват медианите, подобни триъгълници /математическото доказателство/, 1/3 от телесния диагонал.... другото Bibi обясни добре.

Bibi, чакаме мъдреците на площада! Че как я карат без жени [xx(]

[Bibi]

По 1. защо най-късата отсечка е перпендикулярна и на двете?

Наистина мисля, че можете да го откриете в интернет или учебник.

Аз твърдя, че, ако свържете други две точки от правите с отсечка (зелената), вашата ще е хипотенуза в правоъгълен триъгълник (жълтия), на които "моята" (червената) е катет.



По 3. защо тази отсечка е перпендикулярна на двете диагонални тръби?

Може да се провери с Питагоровата теорема от триъгълника BNM (синия), на когото знаем страните.

BM е 1/3 от диагонала = a#2/3

MN е a/#3 (1/3 от AC1)

BN е 2/3 от една медиана = a#5/3

BM^2 + MN^2 = BN^2

значи ъгълът е прав

Аналогично се вижда и за другия ъгъл, защото нещата са симертични.

[Wise]

Е вече си имаме чертеж и формули - рай за математиците!

Заслужи си кебапчето, но мисля, че и моето обяснение беше достатъчно!

//едит:

а как намери MN?

[Bibi]

@Wise

Достатъчно ясно е твоето, за всички, които вярват, че телесният диагонал е перпендикулярен на диагоналните тръби. Ако Пешо Умното се съмнява в това, нека види за Питагор, стига да не го мързи.

Лично аз предпочитам твоето.



С новата задача ще бъдем в агитката на Левски.

В знак на протест срещу премахването на Правилата, ще я задам утре сутрин между 9 и 10 часа.



/EDIT

Намерих го с подобни триъгълници

ASC1 и MSN





<font face="Times New Roman">Искам да се извиня, че не успях да дам задача днес. Ще имам проблеми с интернета няколко дни и няма да мога да се появявам.

Бих предложила Нина да зададе следващата задача, защото също беше решила тази, но с малко закъснение. Все пак вие се разберете кой. Успех на всички!</font id="Times New Roman">

[Wise]

Нека "лудите" се налудуват докато "умните" се наумуват!

Утре , между 9 и 10 ще се опитам да пусна "занимателна" задачка.

Тъй, като правила няма - аз налагам правилата за тази задачка!

Ще ги кажа преди задачката. Нямат нищо общо с досегашните!

Ако не ви харесват - изчакайте следващите!

"Кому-как, а мне -хорошо"