Задача 297 (Котка и мишка)

[echo]

Една история от лятото - свиркайте ако сте присъствали и вие

Седя си аз лятото в парка до едно езерце - кръгличко, с гладичка водичка - абе приказка. И си пия биричката
Не щеш ли - гледам една мишка на шадраванчето в средата на езерцето и - ооопс - една котка я дебне на края на езерото - бедната мишка - като в капан... Обаче мацата не смее да влезе във водата
Знам си, че мишката кат` плува е 4 пъти по-бавна от котката на брега, ама на сушата е по-бърза и... докат` пиех - хоп - измъкна се и отпраши сред храстите - кой казва, че котките били добри ловци...

Та да ви питам - как го стори туй мишока, или пък прекалих с бирата?


P.S. Ако нещо съм объркал или повтарям общоизвестни неща - отдайте го на бирата!

[Wise]

То сигурно трябва да тръгне мишлето противоположно на котето. Котето си избира страна и потегля.
Мишката описва спирала на противната посока. Котката обикаля по окръжност и разстоянието между двете се увеличава от R до 2R. Май трябват и сметки....Аз съм на биричка вече...........

[BerkStock]

То сигурно трябва да тръгне мишлето противоположно на котето. Котето си избира страна и потегля.
Мишката описва спирала на противната посока. Котката обикаля по окръжност и разстоянието между двете се увеличава от R до 2R. Май трябват и сметки....Аз съм на биричка вече...........

Мдааа... А пък и тия храсталаци, дето покрили мишока...
Дали няма нещо, което да пречи на котката да обикаля по окръжността (демек, да й се налага да заобикаля нещо - някой храст, който се опира до шадраванчето, например...)?


Промяна:

Тук има и един особен момент: мишките могат да плуват - да! Обаче плуването много бързо ги уморява и, респективно, се давят. Тъй че доста малко ще трябва да е това шадраванче...

[Wise]

Ама защо да и пречим??
Тя ще измине 3.14R до срещуположната точкаи още толкова до началната
През това времепо вътрешната спирала мишлето си плува - но трябват сметки
Аз си говоря идейно само.

[echo]

Храстите явно бяха поникнали, за да може да се скрие в тях мишката, след като вече се беше отървала от котката - както сам каза - за отмора след плуването

//edit
като спомена Wise - да взема и аз да го обмисля - бирата си е бира - не е Хамериканска :coolsmiley:

[Wise]

Добре - ето тактиката на мишлето:
Плува срещуположно на котката, като винаги стои срещу нея, докато достигне окръжност с радиус R/4.
Там ъгловата скорост(като градуси/време) на двете гадинки е една и съща - т.е. мишлето може да си плува по тази концентрична окръжност и винаги да е срещу котката. Когато е по-близо до центъра то има време да компенсира дъгата и да напредне малко навън.
Достигайки тази окръжност на мишлето остава де преодолее 3/4R , а котката има 3.14R за да го достигне.
Или мишока си плюе на лапичките и гребе по права линия към брега. След като излезе на сухо има време само да се изплези на котето и да се шмугне в храстите.

[echo]

М-да - малко по-различно ми се стори, че беше, ама т`ва си е добра стратегия :Super:
И кой казва, че мишките били храна за котките

Wise - ти си на ход!

и - да - май никак няма да ми е лесно с вас

[Arti]

Добре - ето тактиката на мишлето:
Плува срещуположно на котката, като винаги стои срещу нея, докато достигне окръжност с радиус R/4.
Там ъгловата скорост(като градуси/време) на двете гадинки е една и съща - т.е. мишлето може да си плува по тази концентрична окръжност и винаги да е срещу котката. Когато е по-близо до центъра то има време да компенсира дъгата и да напредне малко навън.
Достигайки тази окръжност на мишлето остава де преодолее 3/4R , а котката има 3.14R за да го достигне.
Или мишока си плюе на лапичките и гребе по права линия към брега. След като излезе на сухо има време само да се изплези на котето и да се шмугне в храстите.

Това наистина е доста красиво решение, само за да изчистя момента с наваксването на дъгите, ще предложа мишлето първо да преплува без да мисли до периферията на концентричната окръжност с радиус (0.9/4)R. После вече движейки се в правилната посока по тази окръжност то ще успее да застане "срещу котката". Оттам същото- остава му да измине (3.1/4)R разстояние до брега.
Мога да предложа и друго решение, което е малко по-сложно за изпълнение от мишока, но все пак...

Приемаме, че котката е на 6 часА, мишокът е в центъра. Мишокът ще си има 3 посоки на движение- на 12 часА, на 2 часА и на 10 часА.
Ако котката:
се движи по посока на часовниковата стрелка- мишката се движи на 2 часА
се движи обратно на посоката на часовниковата стрелка- мишката се движи на 10 часА
не се мърда- мишката се движи на 12 часА.
Сега трябва да проверим, че котката няма как да се е намирала в точката, в коята мишката излиза на брега. Лесно се вижда, че е без значение в какъв ред мишката е извършвала движенията си. Тогава можем да приемем без ограничение на общността, че тя първо е плувала x разстояние на 12 часА, после y на 10 часА, и накрая- y+z на 2 часА. Тогава котката трябва да е изминала 4*(0*x-y+(y+z))=4*z разстояние по посока на часовниковата стрелка. Нека дъгата, която се ограничава от 12 часА, и точката на излизане, има дължина alpha. Сега трябва да сравним 4*z с Pi+alpha. С малко тригонометрия стигаме до неравенството Pi>(8/sqrt3)*sin(alpha)-alpha, което винаги е изпълнено за alpha<Pi/3 => OK

Не знам дали е забранено да се пише по вече решени задачи, ако е- извинявам се!