Задача междинна (Драскай за да спечелиш)

[Krusteva]

Твърде късно е вече за да измислям сюжети (мили деца, учете за да не работите* ), затова ще карам по същество.

Двама души играят следната игра: дадени са числата 1, 2, 3 ... 27 и всеки един от играчите последователно задрасква по едно число от редицата, докато не останат точно две от тези числа. Ако сумата на тези две числа се дели на 5, печели започналият играта първи, ако не се дели на 5 - вторият. Ако и двамата играят оптимално (т. е. имат правилна стратегия) кой би победил?

[Bibi]

Според мен Първият ще победи.
Той задрасква веднъж повече.
Ако следва такава стратегия: първия път задрасква 1.
Всеки следващ път задрасква число, което събрано със задрасканото от Втория, да дава сума, кратна на 5.
Когато Вторият задраска някое от числата [5, 10, 15, 20, 25], тогава Първият задрасква 2.
По този начин 2 хода преди края ще останат 4 числа, които две по две правят сума, кратна на 5.
Няма полезен ход за Втория...

(причината е, че има 2 "излишни" числа с остатъци 1 и 2)

[MitkoS]

.... Ако следва такава стратегия: първия път задрасква 1.
Всеки следващ път задрасква число, което събрано със задрасканото от Втория, да дава сума, кратна на 5.
...

Първия трябва да задраска такова първо число, че да е възможно останалите 26 на брой числа да се комбинират по двойки такива, че сумата на всяка двойка да се дели на 5. И съответно когато Втория задраска някое число, то Първия веднага след това задрасква числото от съответната двойка.

Така на пръв поглед, аз не можах да подредя числата от 2 ... 27 на тринадесет такива двойки.

ДОБАВЕНО
Сумата на числата от 1 до 27 е 378.
При това положение, след задраскването на първото число, за да може да се комбинират останалите 26 числа по подходящите двойки, трябва сумата на тези 26 числа да се дели на 5.
Така че, за да има някакви изгледи за успех, първото число, което трябва да задраска Първия задължително трябва да е някое от числата 3, 8, 13, 18, 23. Иначе Втория има стратегия да спечели.

ДОБАВЕНО
Прости примери ме убеждават, че след задраскването на първото число, не е възможно останалите да се подредят по подходящи двойки. Ще се аргументирам така:
По-горе посочих, защо е задължително първото задраскано число да е някое от 3, 8, 13, 18, 23
Да вземем от останалите 26 числа тези които се делят на 5. Това са 5, 10, 15, 20, 25. При комбинирането по двойки, тези числа могат да се комбинират само помежду си. Но те са пет на брой и няма как да стане това.

ТАКА ЧЕ:
ВТОРИЯ ПЕЧЕЛИ - т.е. ако и двамата играят оптимално, то втория винаги е победител

ДОБАВЕНО
Прочетох пак какво съм написал и считам, че са необходими допълнителни разяснения.
В аргументите по-горе, се вижда, че няма как от самото начало след задраскване на първото число, оставащите 26 числа да се подредят на 13 на брой "статични" двойки. Т.е. това е по-скоро опровержение, че такава печеливша стратегия за Първия със "статични" двойки не съществува. Което не пречи да съществува някаква друга печеливша стратегия за Първия с "динамични" двойки - т.е., след всяко задраскване на число от страна на Първия, да се прави преподреждане на двойките.
Е, формално погледнато, това е така - това не е доказателство, че втория ВИНАГИ печели.
Но също така е видно, че логиката със сумите на оставащите числа е вярна и може да се обобщава за след всеки ход на двамата. И проблема всъщност е в лошо подредените първоначални разсъждения.

ДОБАВЕНО

- "Никога не е късно да станеш за резил. Това ние много добре го знаем." (това е цитат)

Току що, на ПМ, Биби ме разби на задраскваници чрез стратегия с "динамични" двойки. Всъщност, нека тя да си го обясни, въпреки че сега след разбиването, виждам, че вече го е обяснила достатъчно ясно, ама кой да гледа

ДОБАВЕНО
Понеже на нея нещо не и се пишело то аз ще го напиша:
1* - първо задраскване
--------
2* *-* * 5, 10, 20, 15, 25* - динамична част
--------
3-7, 4-6* * * * * * * *
8-12, 9-11
13-17, 14-16* * * - статична част
18-22, 19-21
23-27, 24-26

[Wise]

Нещо май не схванах. В поредицата:
1-4
6-24
11-19
16-14
21-9

какво следва?

//26 и кафе следва

[pimpirlit]

...
(причината е, че има 2 "излишни" числа с остатъци 1 и 2)

Или две липсващи - с остатъци 4 и 3. Ако имахме 28 и 29 в играта щеше да е много по-лесно.

Иначе съм съгласен, че първият ще победи. Но не е необходимо да помни статичните двойки и не е задължително да започне с 1. Може да е 2 или всяко число с остатък 1 или 2 при деление на 5 (6, 7, 11, 12 и т.н.). След това задрасква число, допълващо това на опонента до кратно на 10, по твоята логика за "статичните" двойки. При първо задраскване от опонента на число с "излишен" остатък, който не е задраскан на първия ход се задрасква едно число от "динамичната" петица.

Може би по-лесно е ако се започне с число от "динамичната" петица. След това се следва горното правило за кратно на 10 до първия момент, в който опонента задраска число с остатък 1 или 2. Веднага се задрасква такова с остатък 2 или 1 (реципрочно на опонента) и се продължава с кратната на 10 сума до пълна победа!

[Krusteva]

Да погледнем по друг начин на нещата (разсъжденията на Биби ми харесват, но не може да не се позаяждам все пак). Дали ще са от 1..27 или от 101 до 127 е все тая, важен е остатъкът при деление на всяко от числата на 5. Така имаме:

5 нули
6 единици
6 двойки
5 тройки
5 четворки

Останалото утре

[Edin_Lud]

Много си нахална :coolsmiley:

[IvO™]

Много си нахална :coolsmiley:

До безобразие чак.