Нова стара задачка (междинна)

[dedis]

Всеизвестна задачка, която мина и тук, мисля, е за нишка около екватора.
Полагаме плътно върху екватора нишка. след това я удължаваме с 1м и я отдалечаваме равномерно от земната повърхност. Ще може ли под нея да се провре мишка?
Отговорът е ясен. Линейна функция радиус-дължина на окръжността. Т.е. процепът няма да зависи от началния радиус и ще бъде винаги към 16см.
Ето модификацията на задачата /моля Биби за внимание/:
След като сме удължили нишката, вместо да я отдалечим отвсякъде равномерно, я хващаме в една точка и я дърпаме нагоре до отказ /нишката е неразтеглива/. На каква височина ще се вдигне точката над земната повърхност.
Предполагаме, че земята е идеално кълбо.
Три, четири... Старт!

[Wise]

Мисля, че преди тридесетина години съм я виждал
Май си е чисто математическа. Порядъкът беше около 3-4 метра при 1 см удължаване.
Сега с 1 метър дори ще надхвърли няколко километра.
Примерно, ако допуснем, че Земята е плоска за 1000 километра от нашата точка и въжето до тези 1000 км е прилепнало по земята, то увеличението с един метър ни дава около 1.4 километра височина.
Ама не е за неделя, следобед...

[kamenf]

Ми... уравнението е:

4h^4 + (8R-4)h^2 - 2Rh - R^2 = 0

където R е радиуса на земята, а h е търсеното разстояние.

[dedis]

Ми... уравнението е:

4h^4 + (8R-4)h^2 - 2Rh - R^2 = 0

където R е радиуса на земята, а h е търсеното разстояние.

А как получи тава? И къде е тук удължението /напр. 1м/? Някъде в четворките ли е?
Не виждам и решение по h. Поне за реалните корени.

[kamenf]

Дъгата AH = a; AH'=a'; AK=a+0.5; АО=HO=R; h=HK (търсеното)

1. От правоъгълния триъгълник ОАК имаме: АК^2 = ОА^2 + АК^2; HK = OK-OH или h=OK-R или като заместим:

h^2 = R^2 + (a+1/2)^2 - R

2. От подобните триъгълници ОАК и H'AK имаме: R/(R+H'K) = a'/(a+0.5);

Поради малкият ъгъл можем да приемем, че а' = а и H'K = h, от където: R/(R+h)=a/(a+0.5)

От тук замествам а в първото и получавам онова уравнение....

[dedis]

Дъгата AH = a; AH'=a'; AK=a+0.5; АО=HO=R; h=HK (търсеното)

1. От правоъгълния триъгълник ОАК имаме: АК^2 = ОА^2 + АК^2; HK = OK-OH или h=OK-R или като заместим:

h^2 = R^2 + (a+1/2)^2 - R

2. От подобните триъгълници ОАК и H'AK имаме: R/(R+H'K) = a'/(a+0.5);

Поради малкият ъгъл можем да приемем, че а' = а и H'K = h, от където: R/(R+h)=a/(a+0.5)

От тук замествам а в първото и получавам онова уравнение....

Извинявай, че се забавих. Не бях тук.
Изглежда ОК /малка печ. грешка в Пит.теор./. И h ще го търсим с итерации, с комп.?

[Bibi]

При мен пък се получи уравнение, което не знам изобщо как да реша

1/2R = tgA - A

В момента имам идеи само ако се търси приблизително.

//Добавено
може би бъркам, защото получих около 121.5 м.

[dedis]

R на земята ли? А z какво е? Ако е централният ъгъл или тангенсът му, имаш грешка, вероятно.
200м изглежда вероятно!

[Bibi]

Ами тангенсът беше (от половината ъгъл).
R.tgA е дължината на отсечката, R.A е дъгата, разликата им да е 1/2 м.
както и да е...
Я кажете поне колко е радиуса, че аз го смятам с 40 075 696?

[dedis]

На око е минимум 200м

[dedis]

Радиусът е 40 000 000 / 2п /м/. Към 6000км.
Не виждам дядо Питагор* :coolsmiley: Или поне arccos

[kamenf]

Аз направих следното (мисля, че е подобно като при Биби):
От горния чертеж нека S e дъгата АH, z е ъгъла АОК. Тогава:

S = z*R; a=R*tg(z)

Искаме a-S = 1/2, или R*(tg(z)-z)=0.5

С малко итерации получаваме възможно най-близкото z, което е ~0.3537 градуса.

Имайки ъгъла, намираме АК и АH'=a', която се явява височина на триъгълниците АОК, AOH и AHK. От лицата им получаваме:

h= (R*AK-R*a')/a'

и се получава 121.51 м


ПП:
Забравих да кажа, че според Википедията R=6378135 m

ППП:
Ето и кода на Паскал с който се намира z:

* 
* ZMin:=0;
* ZMax:=DegToRad(90);
* Z:=ZMin+(ZMax-ZMin)/2;
* P:=0;
* repeat
* * LastP:=P;
* * P:=(Tan(Z)-Z)*R;
* * if P>0.5 then
* * * ZMax:=Z
* * else
* * * ZMin:=Z;
* * Z:=ZMin+(ZMax-ZMin)/2;
* until LastP=P;

[dedis]

Приемам решенията и резултатите на Биби и КаменФ.
Малко ме смущава това, че задачата не изглежда сложна, а няма точен израз за h

[kamenf]

Между другото, КH'=243m... така че, ако смятаме приблизително, доста ще сбъркаме.

[Bibi]

Мисля си, че винаги, когато трябва да сравняваме прави с дъги, ще е трудно.
Като го развия в ред, получавам уравнението:
1/2R = z^3/3 - z^5/5 + z^7/7 - z^9/9 +....
но нямам никаква идея за точно намиране на корените му.
Така че и аз писах код, за да сметна числото. Преди това нямах дори бегла представа в кой диапазон ще се окаже.
Но, ако се пренебрегнат всички членове на реда след първия (защото влияят с малко), задачата вече може да се сметне и наум и пак да се получи същото.