Зайци и салати от моркови

[MitkoS]

Примера с тенджерите общо взето е голяма глупост от моя страна ... ама трябваше да преспя, за да го видя.
Както и да е,ето един прост механизъм, при който се отделят 892 неотровни чинии.


1. Правим 10 групи от по 18 чинии и на всеки заек даваме да опита от всички чинии в точно една група.

2. После правим всички двойни комбинации от зайците:
{z1, z2}, {z1, z3}, {z1, z4}, {z1, z5}, {z1, z6}, {z1, z7}, {z1, z8}, {z1, z9}, {z1, z10}
{z2, z3}, {z2, z4}, {z2, z5}, {z2, z6}, {z2, z7}, {z2, z8}, {z2, z9}, {z2, z10}
{z3, z4}, {z3, z5}, {z3, z6}, {z3, z7}, {z3, z8}, {z3, z9}, {z3, z10}
{z4, z5}, {z4, z6}, {z4, z7}, {z4, z8}, {z4, z9}, {z4, z10}
{z5, z6}, {z5, z7}, {z5, z8}, {z5, z9}, {z5, z10}
{z6, z7}, {z6, z8}, {z6, z9}, {z6, z10}
{z7, z8}, {z7, z9}, {z7, z10}
{z8, z9}, {z8, z10}
{z9, z10}
Общия брой на тия двойни комбинации е 45
От останалите чинии, правим 45 групи от по 17 чинии, които да "съответстват" на всяка от тези 45 комбинации - съответстват в смисъл, че всеки заек от комбинацията, опитва от всички чинии в групата.

3. Дотук, общия брой чинии от които зайците са опитвали е
10.18 + 45.17 = 945
От останалите 55 чинии зайците не са опитвали и няма и да опитват

4. И сега гледаме колко зайци ще умрат

Случай 0 (нула умрели зайци)
Това значи, че и двете отровни чинии са в остатъка от 55 чинии, от които никой заек не е опитвал.
Т.е., в този случай, можем да отделим 945 гарантирано неотровни чинии

Случай 1 (един умрял заек)
Това значи, че едната отровна чинии е в остатъка от 55 чинии, а другата е в групата от 18 чинии от които само този умрял заек е опитвал
Т.е., в този случай изхвърляме 73=55+18 от които никой заек не е опитвал.
Т.е., в този случай ни остават 927 гарантирано неотровни чинии

Случай 2 (два умрели заека)
Трябва да изхвърлим:
остатъка + 2групи.18чинии + 1група.17чинии = 55 + 36 + 17 = 108 чинии
Т.е. в този случай ни остават 892 гарантирано неотровни чинии

Случай 3 (три умрели заека)
Трябва да изхвърлим:
3групи.18чинии + 3групи.17чинии = 105 чинии
Т.е. в този случай ни остават 895 гарантирано неотровни чинии

Случай 4 (четири умрели заека)
Трябва да изхвърлим:
6групи.17чинии = 102 чинии
Т.е. в този случай ни остават 898 гарантирано неотровни чинии

Т.е, при този метод, максималния брой на изхвърлените чинии е 108 за случая при два умрели заека. И този метод ни дава 892 гарантирано неотровни чинии.

Това дотук е сравнително формално математическо разглеждане на нещата, като съм оставил на вас сами да си проумеете защо точно толкова чинии изхвърляме в Случаите 2 3 и 4


Има обаче едно сравнително добро визуализиране на този метод:
Разглеждаме таблица с размери 10х10. Номерацията на клетките в таблицата е такава, че долния ляв ъгъл е с координати 1х1, а горния десен е 10х10.

В клетките ПО диагонала сме сложили по 18 чинии (диагонала е този който свързва долния ляв ъгъл с горния десен).
В клетките НАД диагонала сме сложили по 17 чинии.
В клетките ПОД диагонала сме сложили по 0 чинии.
55 чинии сме оставили извън таблицата.

Всеки заек опитва от всички чинии в една колона на таблицата и от всички чинии от един ред на таблицата, като реда и колоната са с един и същи номер.
И накрая, като разглеждаме Случаите с умрелите зайци, много по-лесно забелязваме кои клетки от таблицата трябва да изхвърлим.

[MitkoS]

Трудна задача брей, мина още една седмица без решение.

При тройни комбинации, с горните разсъждения може да се постигнат 896 чинии (при 1000).
Ако някой (друг) се напъне да го направи и напише тук (и най-вече добре да опише случаите),
то аз съм склонен да покажа как се правят 1800 при 2000.

[MitkoS]

Wise,
След като се справихме с шапките, да вземем (ти де, не аз) да опукаме и тази задача - от миналата година стои нерешена, ... срам за форума. А и така или иначе шаха свърши, та сигурно вече ти е скучно ... а пък аз, след "теста за деменция" почвам да се притеснявам, че ще взема да забравя как може да се реши тази задача

...
//не виждам разлика дали са 1000 или 2000 - аз се мъча над основната - групирани в 20 маси по 50 чинийки

1. Разликата е, че 2000 се дели на 80, а 1000 не се дели.
2. Съществува такова разделяне на чиниите на 80 групи и съответното опитване от страна на зайците, при които най-накрая се отделят като потенциално отровни не повече от 8 групи, т.е., не повече от 10% от групите
3. Конкретното разделянето на групи и съответното опитване е не толкоз въпрос на математика, а въпрос на въображение. А аритметкиката (наистина е аритметика - като при шапките) идва веднага след това.
4. Ако същото разделяне се приложи върху 1000 чинии, то "след една вторична оптимизация" се стига до 898 неотровни. Това само за себе си също е интересно как става, но не може допълнително да се приложи за 2000 чинии, тъй като там всички групи имат по еднакъв брой чинии.

5. И накрая малко помощ от мен в аритметиката
10 = 4 + 3 + 3
80 = 5 x 4 x 4 = (4+1) x (3+1) x (3+1)
Друга математика в решението на задачата няма, освен още че
8 x 25 = 200
2000 - 200 = 1800
т.е. 2000 - (8 x 25) = 1800

ПП. Всеки да се чувства добре дошъл да пише по задачата, не само Wise

[MitkoS]

Никой не пише по задача, но виждам, че брояча "Прегледи" расте ежедневно с около 20 - демек около 20 човека (и Интернет-роботи) дневно преглеждат задачата. Което ме кара да си мисля, че има опитващи се да я решават.

И за да ги подразня (още) малко, ще добавя към задачата, че днес открих как при 1000 чинии отделяме 899 гарантирано неотровни. Досегашния резултат беше 898.

[MitkoS]

Ето как при 2000 чинии можем да определим 1800 гарантирано неотровни – т.е., как можем да отделим не повече от 200 чинии (10%) потенциално отровни, като сме сигурни, че и двете отровни чинии са вътре между тези 200.
Представете си, че имате паралелепипед с размери 5x4x4 изграден от 80 броя единични кубчета (80=5x4x4). Представете си, че този паралелепипед е разрязан на 5 броя пластапо X-координатата, съответно на 4 броя пластапо Y-координатата и 4 броя пластапо Z-координатата.

Във всяко от тези 80 на брой единични кубчета поставяме по 25 чинии (2000=80x25)
По трите координати имаме общо 13 пласта
X-координата - X1, X2, X3, X4, X5
Y-координата - Y1, Y2, Y3, Y4
Z-координата - Z1, Z2, Z3, Z4

Десетте заека ги номерираме така – x1, x2, x3, x4, y1, y2, y3, z1, z2, z3 и пускаме всеки от тях да опита от всички чинии от всички единични кубчета в съответния пласт:
Пласт X1 – заек x1
Пласт X2 – заек x2
Пласт X3 – заек x3
Пласт X4 – заек x4
Пласт X5 – по този пласт (последен по X-координатата) нямаме заек
Пласт Y1 – заек y1
Пласт Y2 – заек y2
Пласт Y3 – заек y3
Пласт Y4 – по този пласт (последен по Y-координатата) нямаме заек
Пласт Z1 – заек z1
Пласт Z2 – заек z2
Пласт Z3 – заек z3
Пласт Z4 – по този пласт (последен по Z-координатата) нямаме заек

И накрая гледаме умрелите зайци за всяка от координатите:
Ако умрат два заека по една от координатите, то двете отровни чинии са в двата различни пласта по тази координата от които са опитвали тези два заека.
Ако умрe само един заек по една от координатите, то едната отровна чиния със сигурност е в пласта от който е опитвал този заек, а другата е или в същия пласт или в последния пласт по тази координата от който не е опитвал нито един заек
Ако по една от координатите нямаме нито един умрял заек, то и двете отровни чинии са в последния пласт по тази координата от който не е опитвал нито един заек.

Т.е, разглеждайки умрелите зайци, за всяка от координатите можем да определим най-много два пласта, които гарантирано съдържат и двете отровни чинии - най-много общо шест пласта и за трите координати.
И накрая трябва да определим сечението на тези шест пласта и да изхвърлим това сечение, тъй като то (гарантирано) съдържа и двете отровни чинии.
А сечението на тия най-много шест пласта е най-много общо 8 единични кубчета.
200 = 8 x 25 – това е броя на чиниите които изхвърляме
и ни остават 1800 гарантирано неотровни


Така да се каже, това дотук е теоретичния модел (алгоритъма) който ни гарантира отделянето на 1800 гарантирано неотровни чинии. Но на практика, едва ли ще разполагаме с такава хубава тримерна скара за да проведем опита.
Но нищо не ни пречи да го проведем двумерно или едномерно. В смисъл, нареждаме 80-те групи от по 25 чинии в редица (едномерно) и на всяка и слагаме етикетче с номерата на трите координати на групата в паралелепипеда, т.е. етикетчето изглежда (x, y, z), като на мястото на x, y, z, стоят истински цифри.
Съответно, заека x1 ще опитва само от тези групи на чието етикетче пише (1, y, z). И т.н. ...

[Очо]

MitkoS, задачката определено е интересна. Какво правя: Деля 1000 на 17 части, 16.60=960 и 1.40=40. Остана да мога, твърдо да определя, с помоща на десет "засечки" две от шестнадесетте части. Не мога да го нарисувам(освен ако не ме научиш), затова опитвам да го обясня.. Представи си тетраедър(триъгълна пирамида), на всеки ръб(те са шест) слагаме по две точки. Съединяваме с отсечки три от новопоставените точки (които са най-близко до единия връх)-получава се равнина и подобно всички останали точки... В началото имахме четири равнини(страните на тетраедъра), получихме още шест равнини, всичко десет. Повечето точки от тетраедъра се определя с помоща на четири равнини(четири заека) и няма повторение на равнините при друга точка. Т.е. с помоща на равнините(умрелите зайци) винаги определям или точно две точки(осем .... четири равнини) или една точка(три равнини). Ако са две точки, махам 2.60=120 чинии, но добавям допълнителните 40, т.е.имаме 920 "чисти" чинии, ако точката е една, то значи втората отрова е в допълнителните 40 чинии, т.е.махам и тях 60+40 =100, остават 900 "чисти".Всичко друго, дето си го написал, е доста сложно.. Принципа е този естествено.. То затова се учеха : комбинации,пермутации,вариации и не знам още какво си, ама кой ти помни...

[MitkoS]

Много се радвам Очо, че тази задача те е заинтригувала.
Още повече се радвам, че решението което предлагаш, е доста нестандартно.

Но или на мен ми куца въображението и не разбирам добре някои неща в решението, или пък ти си допуснал неточност:

... В началото имахме четири равнини(страните на тетраедъра), получихме още ШЕСТ равнини, всичко ДЕСЕТ...

Според мен, трябва да е: "получихме още ОСЕМ, всичко ДВАНАДЕСЕТ"

[Очо]

Вярно! Стават дванадесет. Даже си го начертах..Т.е. не стигат два заека... Оставям ги(зайците) да плюскат на воля.. Ако остане време, пак ще ги мисля...

Допълнение..
Явно, вчера вече съм заспивал.. Всъщност, нищо не ни пречи да получим не осем равнини, а шест. Т.е сеченията да не са триъгълници, а четириъгълници. Друго си е с чертеж.. Този път пиша и буквите. ABCD - тетраедъра. Пиша: ръб - точка,точка.
AB - A1,B1
BC - B2,C2
AC - A2,C1
AD - A3,D1
BD - B3,D2
CD - C3,D3
Равнините са:
A2B2B3A3 C1C2D2D1
A1D2D3A2 B1B3C3C1
A1C2C3A3 B1B2D3D1
Така май се получава. Бая зайци ще умрат..

[MitkoS]

... махам 2.60=120 чинии, но добавям допълнителните 40, т.е.имаме 920 "чисти" чинии,

960 - 2.60 = 840
840 + 40 = 880 ( = 1000 - 120 = 1000 - 2.60)

[Очо]

Абе аз 120 го вадя от 1000, а ти що от 960? Чакай да помисля... Съвсем се обърках..
Много съм тъп. Сам пиша, че махам 120 чинии(от всичките хиляда) и как ги получих 920, да ме пита някой...

[Очо]

Ей, направо ме шашна с тия зайци. Вече не мога спокойно да си пия бирата, все хващам химикал и листче...! И така не става и инак не става, все много отровни чинийки.. Новото ми предложение е:
40 чинии, т.е. всяка "отговаря" за 25. Трябва да отделим най-много 4.
Нареждам ги в пет реда и осем колони.
1заек - 1 ред (първият заек хапва 8 чинийки от първи ред), аналогично..
2з - 2р
3з - 3р
4з - 4р
от петия ред, на тия зайци не им се полага...
5заек - 1 и 2 колона (петият хапва от 10 чинийки от първа и втора колона), аналогично...
6з - 2к,3к
7з - 3к,4к
8з - 4к,5к
9з - 5к,6к
10з - 6к,7к
и тия последните от осма колона няма да ядат
Аз поне, досега не съм видял вариант, при който да трябва да махна, повече от 4 чинии. Но, вече за нищо не съм сигурен...
Ако и така греша, ще трябва да взема учебника на сина, да смятам пермутации, комбинации, вариации и .. друго май няма.
Т.е. това май е твоето предложение, но във вид 5:4:2, но в едната плоскост ядат тук, но в съседство не...

[MitkoS]

Какво става, ако умрат зайците с номера 4, 5 и 6 ?
(Май стават 6 на брой групите от по 25 чинии - (4р,1к), (4р,2к), (4р,3к), (5р,1к) , (5р,2к), (5р,3к))

Или пък умрат зайците 3, 4, 5 и 6 ?
(Отново 6 на брой групи от по 25 чинии - (3р,1к), (3р,2к), (3р,3к), (4р,1к) , (4р,2к), (4р,3к))


А иначе - браво

ПП. Даже не са 6, а 8 - трябва да се добяват и още 2 групи от 8-мата колона

[MitkoS]

Без да искам дублирах постовете - ако някой с модераторски права прочете този пост, моля нека да го изтрие.

[Очо]

Мда, на доста места се получават по шест чинии... Не са по осем, като че ли, но и шест стигат.
Всъщност, третата колона не участва(за нея се "грижи" седмия заек), но няма кой да се погрижи за осмата колона.
Май решението ще е в доказателството, че все някой ще умре, но за това без учебници, не мога мина..

[Очо]

Ей, до гуша ми дойде от тази задача. Ракията вече я пия с моркови.. Аха, да започна да търся учебници..
MitkoS, разглеждам твоя вариант(може би единствен!).
80 панички. В 40 панички, слагаме от по 13 чинии,т.е : в първата паничка от първите 13 чинии, във втората паничка от вторите 13 чинии и т.н. 40*13=520. В другите 40 панички слагаме, от по 12 чинии. 40*12=480. 520+480=1000.
Паничките-13(тези които имат проби от по 13 чинии) ги слагаме на местата, където ще ядат по три заека(т.е. примерно X1 Y2 Z3) Имаме 36 такива случая(с тройни координати от плюскащи зайци). Останалите 4 панички-13 ги слагаме на X1 X2 X3 X4(т.е от тези четири панички ще яде само по един заек).
След като си оплюскат всичко(ако искат!), отделяме най-много осем панички(MitkoS го е описал подробно), от тези осем, имаме най-много четири в които имаме от по 13 чинии(два тройни адреса и два единични - от Х1 до Х4). Или max: 4*13 + 4*12 = 52 + 48 =100. При всички други комбинации, ще имаме по малко чинии(според мен).
Офф
Замислих се. Ако от 1000 чинии махнем 100(уж се получава 900), ама те 900 ли са или останаха 899? Демек, 20 век кога завърши: 2000 година или 2001-та? Че и що компютри и програми щяха уж да се побъркат, едва ли не световна катастрофа или ядрена война. А то как мина, даже май не помня нищо.. Я да лягам и бирата свърши..., моркови още има..