Зайци и салати от моркови

[MitkoS]

Да понапиша и аз някои изводи които ми се набиха в главата, докато се занимавах със задачата:
1. На практика и аз правих същото - проверявах n-мерните кубове, но с размерност до 11 (11 - "вътре" в координатите), тъй като "пусках" един заек да опитва по няколко координати.
2. При двумерните постигнах по-висок резултат при пълно комбиниране, а при тримерните обратното - най-високия резултат който постигнах е този с куба от 5x4x4 (10=4+3+3). Обаче това 5x4x4 е някакво си конкретно НЕпълно комбиниране ("конкретно" в смисъл, че е едно от многото възможни НЕпълни, докато пълното си е единствено)
3. Разделянето на единични клетки от по 12 чинии и 13 чинии, не е нищо друго, освен допълнителна версия на непълното комбиниране - просто е още един от многото възможни варианти на непълно комбиниране.

Затова:
1. Отказах се повече да търся конкретна обща закономерност - реших, че всеки вариант на <брой чинии, брой зайци, брой отровни> си има собствен максимум до който евентуално се достига по уникален начин според конкретния брой чинии, зайци и отровни чинии
2. Все още не считам (нищо не ме е убедило категорично в обратното), че тримерния куб 5x4x4 е максимума за конкретната задача - <1000 чинии, 2 отровни, 10 заека>. Не виждам причина да няма някакво друго конкретно непълно комбиниране, при което да се постигне по-висок резултат. Затова и с интерес следя новите предложения които се появяват отвреме на време - и тези на Очо , и сега последното на tonych - това са все някакви варианти на НЕпълно комбиниране.

[Bibi]

Възможно е и да си прав.
Аз на много места работя с недоказани твърдения, но интуитивно ги усещам като верни.
Би могло да се направи много по-изчерпателно. Особено ако можеше Кръстева да го подхване.

Например ако разгледаме всички тримерни кубове (в момента трудно схващам какво е пълно и какво - непълно комбиниране).
Но независимо дали ползваш куб 5/4/4 или 9/2/2, все ще трябва да махнеш 8 комплекта.
2 отровни в 3-мерен куб дават 23= 8 комплекта за махане.
8/Х - за да намалим тази дроб се налага да увеличим знаменателя, в който са общия брой комплекти.
Най-много комплекти има при най-хомогенно представяне на 10 като сума от 3 числа (това може да се докаже с анализ).
Повече от 80 клетки няма как да разположиш в такъв куб.

За двете нови предложения, които на пръв поглед не са разположени в куб, смятам, че могат да се преподредят (като им се запази логиката) до състояние на някакъв куб.
Ако успея да ти докажа и това, ще приемеш ли, че задачата може да се анализира в общия случай?
Имам предвид да докажа не конкретно за тези двете, а за съвсем произволно решение.

[MitkoS]

... Но независимо дали ползваш куб 5/4/4 или 9/2/2, все ще трябва да махнеш 8 комплекта. ...

Добре,
а анализирала ли си например тримерни кубове с размери 7x7x6 (4+3,3+4,3+3), при които всеки заек опитва по две от размерностите на куба ?
Там има повечко от 8 клетки за изхвърляне, но общия брой на клетките е доста по голям и в тях има доста по-малко чинии.
Не виждам никаква причина (от казаното дотук), утре някой да не извади някакъв такъв конкретен модел, при който резултата да е по-висок от досегашния.

[Bibi]

Като казвам "всички" имам предвид точно всички.
Дори такива усукани самопресичащи се пространства трябва да могат да бъдат изправени до ортогонален куб, в който всеки яде само в една равнина.
Това бих опитала да докажа.

[pimpirlit]

Като се загледах откога не съм се разписвал тук, чак срам ме хвана.

Но гледайки мача и разсейвайки се по случая, ми "светна" една идейка (на две ракии съм, та имам извинение ).

MitkoS, позволявам си да изплагиатствам твоето кубче от първа страничка на темата и да компилирам идеите на почти всички участници в нея. А хрумването ми е да отделя предварително 40 чинийки и да приложа кубчето ти към останалите 960 салати. Получават се 80 "кубични" групички от по 12 чинии. И:

1. Първи граничен случай - и двете отровни салати са в "моите" 40 чинии => 10-те зайчета са си живи и здрави, 40 чинии отиват на боклука, а останалите 960 са доказано читави. Най-добрият случай - след партито, с останалите 60 салати и подходящо количество ракийка може да се можем спокойно да изчакаме 10-те зайчета да се запекат добре, преди да ги хапнем с удоволствие.

2. Втори граничен случай - и двете са в "твоето" кубче => "моите" 40 са читави и ги сервираме на навлеците, а в най-лошия случай от кубчето отпадат най-много 8 х 12 = 96 чинии. Т.е. остават най-малко 904 читави салати и 4 живи заека. Най-тежкият случай, но пак ни остават 4 салатки за поливане и поне толкова зайчета за преяждане.

3. Междинен случай - "една за теб, една за мен" => "моите" 40 отиват на боклука, а от "твоето" кубче еднозначно се определя точно една групичка от 12 чинии, които последват моите. Равносметката е 40 + 12 = 52 чинии на боклука, т.е. 948 читави салати и 7 живи заека. Тук е възможно и двете отровни чинии да са в една клетка от "твоето" кубче, но "моите" чинии заминават в кофата, за сигурност. Това не променя резултата в контекста на крайната цел.

И понеже вече ми се вижда подозрително лесно решение - кажи къде греша.

[MitkoS]

Да, прав си, подозрително лесно, къде ли е това "къде греша" !?

Що не добавиш тия твои 40 чинийки в оня ъгъл на кубчето, който е с координати <x=5, y=4, z=4>?
Дали ще са там, или извън кубчето - все тая, там така или иначе никой заек не опитва.

ПП. Когато се падне случая да се изхвърли точно тая клетка <x=5, y=4, z=4> в комплект с други 7 клетки, то се налага в същия този случай да изхвърлим още и отделените 40 чинии.

[pimpirlit]

По уважителни причини вчера не можах да си доразвия идеята. Та ще го направя сега:

Що не добавиш тия твои 40 чинийки в оня ъгъл на кубчето, който е с координати <x=5, y=4, z=4>?
Дали ще са там, или извън кубчето - все тая, там така или иначе никой заек не опитва.

С това съм съгласен - въпрос на представяне и няма проблем - в клетката на върха <x5,y4,z4> слагаме 40 + 12 = 52 чинии. В останалите си оставяме по 12 чинии, както съм предложил по-горе.

ПП. Когато се падне случая да се изхвърли точно тая клетка <x=5, y=4, z=4> в комплект с други 7 клетки, то се налага в същия този случай да изхвърлим още и отделените 40 чинии.

Тук вече не съм съгласен. Твоето кубче е "непълно комбиниране" и има една много приятна и симпатична за мен особеност - в общия случай (при пълни комбинации) трябва да изхвърли 8 клетки с чинии. Има обаче и случай, в който можем с точно да определим по-малко клетки. Специално в случая, когато участва <x5,y4,z4> общият брой на подозрителните клетки е максимум 2, като има и един случай с точно една клетка за изхвърляне (въпросната <x5,y4,z4>)!

Та ако след броене на умрелите зайци имаме:

1. Нито един умрял => и двете отровни чинии са в клетка <x5,y4,z4> и изхвърляме само нея, т.е. остават 948 чисти за сервиране.
2. Един умрял заек => ял е от чинийка, от която яде само неговата група (визуално е ръб на кубчето). Възможностите са две - или и двете чинии са в клетката от "ръбчето", или са по една в тази клетка и в <x5,y4,z4>. Тъй като няма начин да установим каква е истината изхвърляме и двете, т.е. 52 + 12 = 64 чинии. Остават 934 за сервиране.
3. Два умрели заека, от различни групи (оси на кубчето) => яли са от чинийка, предназначена за тези две групи и не давана на трета група зайци. Визуално това е страна на кубчето, без прилежащите и ръбчета за единично заешко опитване. Поради основателното съмнение, подобно на т.2, изхвърляме освен тази чинийка и <x5,y4,z4>, т.е. пак 64 чинии и остават 934.
4. Три умрели заека, отново задължително от различни групи => логиката е подобна на горната, но имаме тримерен масив и сечение по три координати, т.е. отново намираме точно една клетка и отново изхвърляме <x5,y4,z4>, т.е. никаква разлика с т.т. 2 и 3.

Във всички останали случаи, вкл. 2 умрели заека от една група, 3 (но два са от една група), 4, 5 или 6 заека, клетката <x5,y4,z4> не участва. А от тези случаи най-тежкия е когато изхвърляме 8 клетки, т.е. 96 чинии и ни остават мин. 904 гарантирано чисти.

Сега пропускам ли нещо?

[Bibi]

Мисля, че имаш грешка тук:

3. Два умрели заека, от различни групи (оси на кубчето) => яли са от чинийка, предназначена за тези две групи и не давана на трета група зайци. Визуално това е страна на кубчето, без прилежащите и ръбчета за единично заешко опитване. Поради основателното съмнение, подобно на т.2, изхвърляме освен тази чинийка и <x5,y4,z4>, т.е. пак 64 чинии и остават 934.

Ако умрат 2 заека от различни групи, може да са яли от различни отровни чинийки, и в пресечната кутийка да няма отровна салата.
Това става, ако отровните са били разположени в крайните равнини, където основната група не яде.
И в този случай трябва да изхвърлим общо 4 групи.

[pimpirlit]

Мисля, че имаш грешка тук:

Мда, права си. Но това пак не ми пречи - имам клетката <x5,y4,z4> и още три "обикновени", т.е. 52 + 3 х 12 = 88 чинии за изхвърляне и 912 чисти.

[Bibi]

Да, не пречи, защото този случай не е екстремния.
Но при следващия - умрели 3 заека, всеки от различен отбор, същите разсъждения ни принуждават да изхвърлим 8 комплекта, като за жалост един от тях е върховия, с +40 чинии.
Поне на пръв поглед до това стигнах.

[MitkoS]

... Тук вече не съм съгласен. Твоето кубче е "непълно комбиниране" и има една много приятна и симпатична за мен особеност - в общия случай (при пълни комбинации) трябва да изхвърли 8 клетки с чинии. Има обаче и случай, в който можем с точно да определим по-малко клетки. Специално в случая, когато участва <x5,y4,z4> общият брой на подозрителните клетки е максимум 2, ...

Тук абсолютно не съм съгласен с това "максимум 2".
За пореден път ще припомня, че ние виждаме само резултата от умрели зайци и че един и същи резултат може да се получи от различни "позиции" на отровните чинии.
Да разгледаме например случая когато умрат точно трите заека x1, y1, z1, така както са означени на картинката с кубчето.
Един от случаите с позиициите на отровните чинии са:
- едната е в клетка с координати <x=1, y=1, z=1>, а другата в <x=5,y=4,z=4>
Но това е само един от възможните случаи с точно такъв резултат от умрели зайци. Има още много случаи, при които ще умрат същите зайци. Например:
- едната е в клетка с координати <x=1, y=1, z=1>, а другата в <x=1,y=1,z=4>
- или пък едната е в клетка с координати <x=1, y=1, z=1>, а другата в <x=1,y=4,z=1>
- или пък ... и т.н. ... общия брой случаи с такъв резултат е поне 20

И затова, ако умрат точно три заека, ние трябва да изхвърлим пак осем клетки, едната от които е <x=5,y=4,z=4> (тази от която никой заек не опитва)


Добавка:
Още едно разпределение в кубчето за резултата 898.
Ако правилно съм преброил, клетките от периферията от които опитват по-малко от 3 заека са на брой 44. Така че, можем да разхвърляме там излишните 40 чинии и да станат с по 13 чинии, като задължително в клетката <x5,y4,z4> оставяме само 12.
При това положение, от осемте клетки за изхвърляни винаги (поне) две ще са с по 12 чинии – или и двете ще са от „вътрешността”, или ако от вътрешността е само една, то задължително ще изхвърляме и <x5,y4,z4>, която както уточнихме също е с 12 чинии.

[Bibi]

Браво, Мите :-)

Виж сега как стават 899:

Една от стените на куба е с 4x4 клетки. В нея оставяме по 12 чинии в диагоналните 4 клетки, започвайки от връхчето <x5,y4,z4>.
Тъй като 8-те комплекта, които ще изхвърляме в най-критичния случай са разположени един над друг, това ни гарантира поне 3 "малки" комплекта, т.е. 899 спасени салати.
Провери го обаче.

P.S.
Оф, не съм права, че ще стане, ако ги сложим по диагонала.
Но ще се получи, ако ги подредеим по ръба, защото тогава поне още една от изхвърлените клетки ще е избрана от същия ръб.

[MitkoS]

Ах ти подличка брюнетка такава, с каква лекота ми отмъкна славата за най-висок постигнат резултат. Ама така ми се пада, като съм блейка и не виждам очевидното.
Всъщност се шегувам и се радвам, че вече имаме нов твърд резултат 899.


А сега ти предлагам, да изоставим визуалните разпределения в кубчето и да помислим за някаква хубава формулка-функция с която да направим друго разпределение на чиниите в кубчето, като не се ограничаваме само с 12 и 13 чинии в клетка.

Нещо такова:
F(координати на клетка) = брой чинии в клетката
И съответно трябва F да е такава функция, че за всяко x1, x2, y1, y2, z1, z2 да е изпълнено:
100 >= F(x1,y1,z1) + F(x1,y1,z2) + F(x1,y2,z1) + F(x1,y2,z2) + F(x2,y1,z1) + F(x2,y1,z2) + F(x2,y2,z1) + F(x1,y2,z2)

[pimpirlit]

А сега ти предлагам, да изоставим визуалните разпределения в кубчето и да помислим за някаква хубава формулка-функция...

Само последна визуализация, че от няколко дни сън не ме хваща.

Ако в идеята на Bibi направим малко модификация - не "вземаме" по чинийка от ръбчето, а от връхчето (проклето) <x5,y4,z4>? Там ще останат 9 чинийки (+12х36 от средните и +13х43 прави 1000). И в критичния случай с три умрели зайци по три различни оси ще получим 99 чинии за изхвърляне (12 + 9 + 6х13) и ще ни останат 901.

В момента нямам сили да мисля за другите случаи, че в главата ми е вече пълна каша, та кажи къде е пробойната този път...

[Bibi]

Хубаво, той и Митко предлага да направим не всички клетки да са с 12 или 13 чинии.
Само че в твоя пример критичният случай се измества - вече лошото е когато умрат 2 заека от един отбор и по един от другите два. Тогава ще трябва да хвърлиш 6x13 + 2x12 порции. Просто хубавата ъглова клетка няма да участва.

Не знам дали ще го обясня хубаво, но тази клетка не е "особена".
С нея работим по-лесно, за да си обясняваме нещата, но иначе тя е равноправна с всяка от останалите.
Може да си представим, че в крайните 3 равнини ядат други 3 "виртуални" заека, за които обаче нямаме право да следим дали умират или не.