Един срещу сто

[ql^2/8]

Задача:
На една окръжност са разположени сто сини и една червена точка.
С върхове в тези точки са съставени всички многоъгълници, от
триъгълници до 101-ъгълници, включително изпъкнали, вдлъбнати
и самопресичащи се. Тези, които имат за връх червената точка,
са червени, останалите са сини. Кои са повече?

[MitkoS]

Броя на многоъгълниците в които участва червената точка е повече от 100 пъти по-голям от броя на многоъгълниците в които не участва.

Ако означим с P броя на многоъгълниците образувани от 100 точки (без значение какъв им е цвета), то

броя на многоъгълниците без червената точка = P
, а пък
броя на многоъгълниците с червената точка = 1 + 100. P
(единицата е заради многоъгълника определен от всичките 101 точки)
За другото събираемо 100.P - от общия брой 101 точки (100 сини и една червена), последователно махаме по една синя и 100 пъти получаваме P.

ПП.
Уф, изпуснал съм повторенията.
По-голям е броя на тия с червената точка, ама не е повече от сто пъти повече.

[ql^2/8]

Не съм съгласен с решението.
Не съм съгласен с единицата.
Да, от три точки има един триъгълник.
От четири точки обаче четириъгълниците са 3,
а пет точки дават 12 петоъгълника...
Господ знае колко са 101 ъгълниците, ама не са един!

[MitkoS]

Да, от три точки има един триъгълник.
От четири точки обаче четириъгълниците са 3,

След като от три точки имаме един триъгълник, то това означава, че не правим разлика между триъгълниците ABC и ACB, нали така ?
Тогава кои са трите четириъгълника при четирите точки ABCD ?

[Bibi]

Червените са повече.
Нека първо да начертаем всички сини "ъгълници". Те са... няколко.
След това да добавим червеноъгълниците - на всяко от досегашните сини му добавяме още един връх, Дори да го добавим по единствен начин, пак ще получим поне толкова червени фигури, колкото са били всички възможни сини.
Но можем да продължим с червени триъгълници. Ако не греша те са 4950. И на тях не отговаря синя фигура, защото тя щеше да е двуъгълник

[ql^2/8]

След като от три точки имаме един триъгълник, то това означава, че не правим разлика между триъгълниците ABC и ACB, нали така ?
Тогава кои са трите четириъгълника при четирите точки ABCD ?

Четириъгълници са ABCD; ABDC; ACBD. Един от тях е изпъкнал, другите са самопресичащи се.
Ако точките не бяха по окръжност, можеше да получим три различни вдлъбнати четириъгълници.

@Bibi
Браво! Решението се приема.
И червените триъгълници са 4950.

* * * * *
ВЕСЕЛИ ПРАЗНИЦИ НА ВСИЧКИ!
* * * * *