Нови закачки:

[ql^2/8]

Ваканцията свърши! Последен петък...
От понеделник на училище!


Ето две задачки за свободното време:

1. Няколко еднакви плочки домино са поставени една върху друга.
(на картинката са дадени разстояния в милиметри)

Първи въпрос (лесен): ще падне ли купчинката или не?
Втори въпрос (труден): Колко милиметра най-много може да се
отклони най-горната плочка спрямо най-долната, ако броят на
плочките е неограничен, а отклонението на всяка е оптимално?

* * *
А тази ми хрумна докато въртях педалите на път за работа:

2. Колко секунди трябва да въртя педалите на велосипеда,
за да направя с тях толкова оборота, колкото е скоростта на
велосипеда в км/час?
(имам са 46 зъба на предния венец и 19 на задния,
а диаметърът на гумите 27,5 инча)

[MitkoS]

По първата:
Няма да се срути.
Общия център на тежестта е изместен хоризонтално на 120/7=17,1428 и "не е във въздуха".
Също така, центъра на тежестта на всяка плочка е върху предходната и също не е във въздуха

Също така, ако разгледаме горните K на брой (за кое и да е K<7) - техния общ център на тежестта е "подпрян" от плочката точно под тях.

Объркал съм сметката за K=3 - центъра на тежестта на горните три е изместен хоризонтално на 24,3, а това под тях стърчи само на 24.
Така че, ще се срути.

[ql^2/8]

Също така, центъра на тежестта на всяка плочка е върху предходната и също не е във въздуха

...а това под тях стърчи само на 24.

Не е ли възможна конструкция, при която центърът на тежестта на една плочка е извън по-долната,
и въпреки това купчинката да не пада?

...а това под тях стърчи на 27?

* * *
Останалите разсъждения са верни.

[MitkoS]

20+4=?

[ivan1]

По втората задачка - 19секунди.

[spiritch]

По втория въпрос го докарах до 116-117mm при около 65000 плочки.

ПП Ама като съм ги забравил тези редове и сходимости. Не мога да кажа дали отговорът е безкрайност или клони към някое число.Ама вътрешното ми чувство казва безкрайност.

[ql^2/8]

@ Ivan1 - 19 секунди е добре!
@ MitkoS - да, купчинката ще падне!
@ spiritch - и аз като прескоча "е" и "пи" си мисля, че е безкрайност...

[ql^2/8]

Добре де, да не остава ей така висящ "трудния" въпрос:

Ако приемем, че доминото е с ширина 2а. По логиката на MitkoS, започваме отгоре:
Най-горната плочка може да отместим на разстояние а.
За втората ще сметнем така:
((а+х)+х)/2=a --> получава се x=1/2
За третата плочка сметката е:
((1,5а+х)+(0,5а+х)+х)/3=a --> получава се x=1/3
Не е трудно да отгатнем, че следващата може да се отмести още на 1/4 и т.н.
Сумарно за най-горната плочка отместването е
1+1/2+1/3+1/4+.... (известният хармоничен ред, чиято сума е безкрайност)
което потвърждава изследването на spiritch.

[MitkoS]

Що ми се струва, че си объркал реда ?!
Трябва да е (според мен):
1+1/2+1/4+1/8+...
който ред е сходящ

Нали знаете оня виц:
Голяма група математици влиза в бар.
Първия казал на бармана "Дай една бира". Втория казал "Дай половин бира", третия и всички останали казали "Дай наполовината от предишния".
При което бармана изревал "Вие сте идиоти бе, ето ви две бири !"

[spiritch]

Добре де, да не остава ей така висящ "трудния" въпрос:

Ако приемем, че доминото е с ширина 2а. По логиката на MitkoS, започваме отгоре:
Най-горната плочка може да отместим на разстояние а.
За втората ще сметнем така:
((а+х)+х)/2=a --> получава се x=1/2
За третата плочка сметката е:
((1,5а+х)+(0,5а+х)+х)/3=a --> получава се x=1/3
Не е трудно да отгатнем, че следващата може да се отмести още на 1/4 и т.н.
Сумарно за най-горната плочка отместването е
1+1/2+1/3+1/4+.... (известният хармоничен ред, чиято сума е безкрайност)
което потвърждава изследването на spiritch.

И аз така го смятах, реших, че и неустойчивото равновесие си е равновесие. Само дето реда не можах да го докарам до безкрайност.

[MitkoS]

А аз може и да съм пообъркал реда.
Така на второ четене (но пак повърхностно) го изкарвам вече 1+1/2+1/3+1/4+ ... (след 1/4 не съм смятал)
Нищо де, поне ви припомних вица за двете бири.