Задача за умножение:

[ql^2/8]

Задача:
Имаме набор от 4 числа.
Умножаваме всяка двойка от тях и получаваме:
2, 3, 4, 5, 6 и Х. Колко е Х?

[MitkoS]

X = 12 / 5

Четирите числа са
a, 2/a, 3/a, 2a

където
a = √2.√3 / √5

Може да има и друго решение ... все пак е поне втора степен

[ql^2/8]

Не е вярно, че има и друго решение!
12/5 е вярно, браво!

[MitkoS]

Ех, има поне още една четворка числа, при която пак X=12/5
А относно единствеността на X - не е очевидна, поне не и за мен.

[MitkoS]

Нека четирите числа са
a,b,c,d
и нека са подредени по-големина
a <= b <= c <= d

Имаме шест уравнения. Като ги умножим,получаваме
(***) (a.b.c.d)^3 = 2.3.4.5.6.X

Тъй като a и b са най-малките от четирите, то
или a.b=2
или a.b=X

По същия начин c и d са най-големите от четирите, то
или c.d=6
или c.d=X

От което следва, че общия брой случаи са три:
1. ab=2 и cd=6, съответно abcd=2.6
2. ab=X и cd=6, съответно abcd=X.6 и задължително условие (x<=2) за този случай
3. ab=2 и cd=X, съответно abcd=2.X и задължително условие (x>=6) за този случай

Сега за всеки от тези случаи използваме отбелязаното по-горе с (***) и за всеки от случаите ще намерим кандидат-стойности за X

За случай 1. имаме
(2.6)^3 = (a.b.c.d)^3 = 2.3.4.5.6.X
==> X = ((2.6)^3) / 2.3.4.5.6
==> X=12/5
т.е. 12/5 кандидат за X, но за да е наистина стойност за X, трябва да намерим непротиворечиви стойности за a,b,c,d
Използвайки и останалите две уравнения при които отдясно имаме 3 и 4, то след известно количество сметки намираме два комплекта непротиворечиви четворки за (a,b,c,d)

Първи комплект четири числа:
(a,b,c,d) = (t, 2/t, 3/t, 2t)
където t=(√30)/5
тая четворка съм я написал и в предишния си пост

Втори комплект четири числа:
(a,b,c,d) = (2t/5, t/2, 3t/5, t)
където t=√10

Също така, четворката
(-d,-c,-b,-a) също върши работа и при двата комплекта

За случай 2. кандидат-стойността за X е (√30)/3,
но като се добавят и останалите две уравнения при които отдясно имаме 3 и 4,
(тук имаме два подслучая (a.d=3 и b.c=4) или (a.d=4 и b.c=3))
то не могат да се намерят непротиворечиви четворки (a,b,c,d)
т.е., тази кандидат-стойност отпада, не става.

По същия начин и за случай 3. не става

----------------------------------------------------------------------------------
ПП.
(ЕДИНСТВЕНОСТ на X)

Ако не съм объркал сметките за случай 2. и случай 3., то единствеността на 12/5 е доказана.
Логиката е такава:
Ако X1 удовлетворява е стойност за която съществуват a1,b1,c1,d1 удовлетворяващи шестте уравнения, то за X1,a1,b1,c1,d1 важи един от трите случая.
Няма как да са случай 2. и случай 3.

Остава да е случай 1.
==> X1 = 12/5