Задача 245 (Против махмурлук по Великден)

**Krusteva** · 04-05-05, 00:04

Няма начин да не може да се докаже, все пак е известно вече, че К^2-P^2 = 4*N е невъзможно, все отнякъде трябва да се покаже противоречие [8D]...

Конструктивното ми предложение е като предния път - да оставим задачата отворена, а Edin_Lud или kamenf да дадe следващата, както се споразумеят, тъй като на Живко му липсва доказателство на точка 3.2.2 (аз все се надявам да го напише), а на Камен нямах сили да проверя написаното детайлно, а като имам време ще сложа и 'официалното' решение на задачата, което в частта 'всички числа положителни' ползва друг подход, който избягва това умуване по т. 3.2.2, а да - и ще поспоря вероятно и с kamenf [

].

**kamenf** · 04-05-05, 16:53

Аз така или иначе сам си поспорих със себе си и разбрах, че не съм прав (поне за второто решение). Всъщност има доста двойки числа (a,b), за които излиза вярно повече от едно равенство, а това не ни дава възможност да определим еднозначно М и N. Простата логика е, че ако се изследва да речем второто равенство ((A+C)/2)2=B*D, или разгънато:

(((а+b)+a*b)/2)2=(a-b)a/b

и изследваме лявата и дясната страна като функции на 2 променливи, се оказва че те се пресичат доста добре в една красива крива, от което пък следва, че имаме двойки числа за които ще се получи двусмислено решение (а още по-интересното е, че имаме и двойки числа за които ще се получи трисмислено решение [

] ).

Относно първия предложен от мен метод, се получават едни много интересни уравнения от 8-ма степен които напправо ме мързи да изследвам, но на прима-виста не ми вдъхват доверие, че могат да доведат до еднозначно решение.

//----

Така че, желанието ми да намеря някакво по-хитроумно решение не се увенчава с резултат и... давай нататък Edin_Lud!

**Edin_Lud** · 04-05-05, 23:31

Давай нататък...добре, но по-нататък от това не мога и не мога. Опитах да решавам някакви уравнения от 4та степен, някакви лимеси - не мога да докажа верността 3.2.2. Почва да ми изглежда, че всъщност вариантът 3.2.2 е невъзможна комбинация от числа M, N, P, K и въобще не трябва да се разглежда, а да се отхвърли като вариант.

**MitkoS** · 05-05-05, 03:06

Частично решение с много "АКО"

Ако на листчетата са написани X1, X2, X3, X4 и са подредени X1 =< X2 =< X3 =< X4

А намислените числа са a и b, т.е. имаме a-b, a+b, a/b, ab

Винаги a-b =< a+b

Също така винаги 0 =< X2 =< X3 =< X4

1. Ако X1 =< 0 => a ==> X1 = a-b

а също така следва, че X2 =< 1 (a/b =< 1)

1.1 Ако 1 =< X3 =< X4 => X2 = a/b => a и b са ясни

1.2 Ако X3 =< 1 =< X4 => a =< 1 ==> ab >= a/b, а също така ab >= a+b

откъдето следва X4 = ab => a и b са ясни

1.3 Ако X3 =< X4 =< 1 => a =< 1 и b =< 1 => ab =< a+b, а също така ab =< a/b,

откъдето следва X2 = ab => a и b са ясни

2. Ако 0 < X1 =< X2 =< X3 =< X4 => a > b => a/b > 1 => X4 > 1

2.1 Ако 0 < X1 =< X2 =< X3 =< 1 < X4 => X4 = a/b, а също така b < a =< 1

откъдето следва ab =< a+b (а също a-b =< a+b) => X3 = a+b => a и b са ясни

2.2 Ако 0 < X1 =< X2 =< 1 < X3 =< X4

Ако допуснем, че ab > 1 => a+b > 1,

но вече имаме a/b > 1 (отдясно на единицата няма място)

=> ab < 1, т.е a-b и ab са ни отляво, а a+b и a/b са ни отдясно

Стигаме до задача при която Ванката с лявата ръка подава листчета с произведението

и разликата (при това по-малки от едно), а с дясната подава сумата и частното

(при това по-големи от едно). Тоя случай ще го гледам утре, тъй като много ми се доспа,

и ако има резултат, ще го напиша в отделен пост,

2.3 Ако 0 < X1 =< 1 < X2 =< X3 =< X4

Ако допуснем, че a-b > 1 => a+b > 1,

но вече имаме a/b > 1 => ab = X1 <= 1 => a =< 1 => a-b <= 1

=> противоречие

=> a-b = X1 <= 1

Стигаме до задача с три листчета с числа, всичките по-големи от единица

и я няма разликата. И тая задача ще я разглеждам утре.

2.4 Ако 0 < 1 <= X1 =< X2 =< X3 =< X4 => a-b < a+b < ab,

а също така a/b < a+b < ab

=> ab = X4 и a+b = X3 => a и b са ясни

Във всички от решените случаи, a и b са определени еднозначно от

система от две линейни уравнения с две неизвестни.

**kamenf** · 05-05-05, 05:56

Тези разрезчета по y (търсеното b) могат да ви наведат на някакви идейки.

Ако четирите числа са подредени по големина (X1,X2,X3,X4), ясно се виждат няколко неща:

1. N<X3<=X4 и X1<=X2<M. Или с други думи N винаги е X1 или X2, a М винаги е X3 или X4.

2. Ако N=X2, то задължително M=X3 (но не и обратното)

3. Ако X1=P или X1=K, то X3=M

4. Ако X4=M, то X1=N.

**MitkoS** · 07-05-05, 14:25

В предишния пост, предполагах, че ако X1, X2, X3, X4 са подредени по големина и "ако се знае положението на единицата спрямо тях", то ще може да се установи точно позицията на ab, a+b, a/b, a-b.

За повечето от случаите това е така.

Но за случаите:

0 < X1 =< 1 < X2 =< X3 =< X4

0 < X1 =< X2 =< 1 < X3 =< X4

лесно могат да се намерят конкретни двойки

(a, b) = (0.9, 0.2)

(a, b) = (0.9, 0.5)

(a, b) = (0.9, 0.8)

(a, b) = (1.6, 0.8)

(a, b) = (5.5, 5.0)

при които ab, a+b, a/b, a-b си менят позициите

Също така, ако има нееднозначни решения, то са само в тези случаи. Опитах се да намеря пример за X1, X2, X3, X4, при които да имаме нееднозначност, но не успях. Единственото до което стигнах, е че не може X1, X2, X3, X4 да са произволни, т.е. съществуват X1, X2, X3, X4, за които не съществуват a и b.

Така че: предавам се.

Междувременно забелязах, че съм написал разни глупости за нееднозначноста и линейните уравнения

**Krusteva** · 21-05-05, 06:23

Ето възможен подход за решение на задачата при случая когато и четирите числа са положителни (на Живко подхода не работи, не че не е вярно, но е невъзможно за изследване, Камен с неговите графики – я му хванат вяра, я не [

], а MitkoS - похвално, че толкова време се опитва, виждам всичко [

]). Четирите числа тук обаче ще разглеждаме от друг ъгъл – напълно непознати за нас като същност, затова и с други букви – C, D, E, F:

Избираме произволно две от четирите числа и проверяваме дали квадрата на сумата им е 4 пъти по-голяма от произведението на другите две числа. Възможните двойки числа са 6, подслучаите - три:

1. Нека допуснем, че едновременно (C+D)^2 = 4*E*F и (E+F)^2=4*C*D. Събирането на тези две равенства би довело до (C-D)^2 + (E-F)^2 = 0, което е възможно само при C=D и E=F. Замествайки обратно в (C+D)^2 = 4*E*F се получава C=+/- E, тъй като обаче всички числа са положителни => C=D=E=F, което обаче е невъзможно, тъй като сбора и разликата е невъзможно да са равни (с означенията на Живко – A-B е различно от A+B), тоест изпадаме в противоречие и този вариант отпада.

2. Допускаме, че (C+D)^2 = 4*E*F и (C+E)^2=4*D*F и D различно от E. Тогава имаме D*(C+D)^2 = 4*D*E*F = E*(C+E)^2 <=> (D-E)(C^2 + 2*C(D+E) + (D^2 + D*E + E^2)) = 0, което е невъзможно, тъй като D-E е различно от нула, докато (C^2 + 2*C(D+E) + (D^2 + D*E + E^2) >0.

3. Допускаме, че (C+D)^2 = 4*E*F . Знаем, че по-голямото от C и D е сбора, а разликата е по-малкото. В този случай можем да определим еднозначно A и B.

**Bibi** · 21-05-05, 21:44

А какво става, ако сред дадените числа има две равни?

**Krusteva** · 22-05-05, 00:32

В точка 1 се говори за това.

**Edin_Lud** · 22-05-05, 10:46

<blockquote id="quote">quote:<table border="0" id="quote"><tr id="quote"><td class="quote" id="quote"> Доказателство ...

<div align="right">Originally posted by Krusteva - 21/05/2005 : 05:23:06</div id="right">

</td id="quote"></tr id="quote"></table id="quote"></blockquote id="quote">

Колкото повече го чета това, толкова по-глупав се чувствам...

Имаме дадени 4 числа 1, 1.25, 7, 12. Кои са C, D, E и F, за да (C+D)^2=4*E*F [?]

//ЕДИТ: Както и да си ги означа, няма такива двойки числа, за които (C+D)^2=4*E*F

**Krusteva** · 22-05-05, 10:50

Абсолютно произволно си ги означаваш в началото.

**MitkoS** · 22-05-05, 18:23

А поради каква причина в случай 2, може да се предположи, че D не е равно на E ?

Не мога да я вида връзката между <случай 1> и <D=E в случай 2>, както съветваш Bibi.

**Krusteva** · 23-05-05, 04:08

Изглежда не сте разбрали какво се има предвид, така ми се струва. Подхода се основава на това да се докаже, че има единствена двойка, която удовлетворява

<blockquote id="quote">quote:<table border="0" id="quote"><tr id="quote"><td class="quote" id="quote">дали квадрата на сумата им е 4 пъти по-голяма от произведението на другите две числа</td id="quote"></tr id="quote"></table id="quote"></blockquote id="quote">. Хващате си листчетата и абсолютно произволно ги кръщавате C, D, E, F и започвате да разсъждавате, няма значение има ли еднакви между тия числа или не, вие ги различавате с буквите, които сте им дали. Разликата от начина на Живко е в това, че тук се ползва друго равенство, което позволява с леки средства да се докаже единственост на избора

(не можехме да докажем <blockquote id="quote">quote:<table border="0" id="quote"><tr id="quote"><td class="quote" id="quote">освен M^2-N^2=4*P не виждам що да не е K^2-P^2=4*N за някой частен случай на A и B. </td id="quote"></tr id="quote"></table id="quote"></blockquote id="quote">)

@Edin_Lud

Сбора и разликата трябва да са тия числа, това, че ти си си избрал някакви произволни нищо не значи, защото все пак на листчетата са 'произволни за нас', но между тях има закономерност, а [(А+В) + (А-В)] = 4 * (А*В) *(А/В) , нали...така че не е от невъзможност да се намери двойка измежду тия, която да удовлетворява искането.

@MitkoS,

разбира се, че са различни, защото иначе двете равенства от точка 2 биха били идентични.

Точка 1 показва невъзможност да вземем двете двойки, нямащи общи числа помежду си да удовлетворяват равенствата. Точка 2 показва невъзможност двете двойки с едно общо число да удовлетворяват равенството и точка 3 вече демонстрира, че измежду тия четири числа , намерим ли зависимостта от цитат 1 - то значи сме нацелили както следва - от събираемите - сбора и разликата и по-голямото е сбора, всичко е еднозначно определимо.

С две думи - има (и то със сигурност) единствена двойка, която удовлетворява цитат първи, този алгоритъм доказва тази единственост.

Надявам се този път да съм била изчерпателна, но ако веднага ви се прииска да имате нови възражения - много ви моля, прочетете още един път [

].

**kamenf** · 26-05-05, 03:34

<blockquote id="quote">quote:<table border="0" id="quote"><tr id="quote"><td class="quote" id="quote">

Четирите числа тук обаче ще разглеждаме от друг ъгъл – напълно непознати за нас като същност, затова и с други букви – C, D, E, F:

Избираме произволно две от четирите числа и проверяваме дали квадрата на сумата им е 4 пъти по-голяма от произведението на другите две числа. Възможните двойки числа са 6, подслучаите - три:

<div align="right">Originally posted by Krusteva*-*21/05/2005*:* 05:23:06</div id="right">

</td id="quote"></tr id="quote"></table id="quote"></blockquote id="quote">

Чак сега разгледах подробно какво се има предвид.

Това много прилича на едно от моите предложения, само буквите са други. Да - случаите са 6, но според мен разглежданите варианти са доста повече. Ето изписано това, което можем да си групираме като числа:

(C+D)2 =? 4*E*F
(C+E)2 =? 4*D*F
(C+F)2 =? 4*D*E
(D+E)2 =? 4*C*F
(D+F)2 =? 4*C*E
(E+F)2 =? 4*C*D

</ol id="1">

Нека, както казва Krusteva, (1) да е вярно (т.е. - намерили сме си две от избраните числа да са C и D, а другите две да са E и F, така че (1) да е изпълнено). Тогава трябва да докажем, че нито едно от (2) ... (6) никога не може да е изпълнено едновременно с (1), което прави броя на разглежданите случаи за доказване 5. Горе са доказани само (1) + (6) /точка 1 на Krusteva/ и (1) + (2) /точка 2/. За останалите 3 случая не съм убеден, че има единствено решение.

Според мен истинското доказателство за единственост на решението трябва да мине през доказване на невъзможността, да имаме две двойки числа, за които получените суми, разлики,... да се оказват четири равни помежду си числа (в разбъркан вид, разбира се).

Т.е. нещо като: нека имаме числа а1, b1, a2, b2. Да се докаже, че нито една от по-долните системи няма решение (т.е. ако има решение, да не е от вида a1=a2 и b1=b2 или a1=b2 и b1=a2).

Системите са всички възможни (и смислени) комбинации от вида:

<ul>

| a1+b1 = а2-b2

| a1-b1 = a2/b2

| a1*b1 = a2+b2

| a1/b1 = a2*b2

...

| a1+b1 = а2*b2

| a1-b1 = a2/b2

| a1*b1 = a2+b2

| a1/b1 = a2-b2

Ако поне една от тези системи (мисля, че са 23 на брой без тривиалната a1+b1=a2+b2, a1-b1=a2-b2,...) има решение, то тогава имаме четворка/и числа, за които решението не е единствено.

Задача 245 (Против махмурлук по Великден)

Инструменти на темите