Задача 284 (Равностранен триъгълник)

[Edin_Lud]

Понеже станаха прекалено много ограниченията за знания (на път сме да се наложи да решаваме само със знания по аритметика), си направих труда да проверя какво би трябвало да знаем след 7ми клас:

ГЕОМЕТРИЯ
Основни геометрични фигури.
Признаци за еднаквост на триъгълници.
Успоредни прави - свойства.
Равнобедрен, равностранен и правоъгълен триъгълник - свойства.
Зависимости между страни и ъгли в триъгълника.
Успоредник. Видове успоредници - правоъгълник, ромб, квадрат - свойства.
Построения с линийка и пергел.

от тук

От задачите тук виждам, че можем да добавим и:
Признаци за подобие на триъгълници. (следователно и техните свойства) - зад. 2/19.12.2004 г.
Вектори. (може би само като дефиниция, без аритметичните действия с тях) - зад. 2/21.12.2003 г.

Ако толкова ни трябва Питагор, можем да си го докажем и да си го ползваме

[Sugar4o]

Добавка заради митко - УФФФ прав - още не съм доказал че Q е на отсечката....

[MitkoS]

И аз току що си открих грешка - почти същата.

[Bibi]

Пак имам нещо като предложение:
Да разгледаме картинката на MitkoS от "Отговор #25".
Нека червеният му триъгълник е равностранен.
Искаме да докажем, че всеки от другите триъгълници има ъглополовяща, чиято дължина НЕ Е равна на дадената.
При "сините" триъгълници да докажем, че е по-малка (със сравняване на медианите).

За "сините" може да се докаже, че
BM >AMA >= AL
По условие трябваше да са равни - противоречие!

При "зелените" триъгълници да докажем, че е по-голяма (тук предлагам да сравняваме височини).

За "зелените" е изпълнено
BC < AB
следователно
l >= височината, пусната от т. A > h височината, пусната от т. C
А по условие са равни - противоречие!

[IvO™]

Аз пък съм много любопитен за едно нещо:

"Какъв вид триъгълник е Бермудския - равностранен или равнобедрен"?

Моля, не визирайте мръсното си подсъзнание, че ако е равнобедрен, нещо ще ви изчезне между бедрата...

Съвсем сериозно питам! :knuppel2:

[Sugar4o]

май намерих "елегантното решение"
Ъгъла ABM го знаем че е 30, построяваме през B успоредна на височината и бележим петата при С С`
Получения триъгълник MBC` e равностранен - ъгъл 60 градуса и равни бедра, тоест MC`=AQ (Q е пресечната точка на права m и ъглополовящата)
от Q пускаме перпендикуляр към a и бележим с Q`
пресечната на права m и BC` кръщаваме K
Триъгълници AQQ` и MC`K са еднакви (правоъгълни с катет и хипотенуза равни)

тоест BMK=KMC` (MK e ъглополовяща в равностранния BMC`)
а ABM=30=BMK
И оттам - BAK=30


МОЛЯ някой от чертаещите да го разчертае да се види, ако не го затруднява

ПП С израза "елегантно решение" искам да поздравя учителката ми по математика от СМГ госпожа КОЕВА (надявам се да е още жива ) и да и кажа, че без нея нямаше да съм и половината от това което станах

[Bibi]

@IvO,
равностранен е:
http://www.crystalinks.com/bermuda.html
Ако щеш вярвай, но го бях смятала заради Мазохостичната междинка

//
@Sugar4o,
А как си сигурен, че правата m пресича ъглополовящата точно в т. L?
За да използваш после равенството на дължините.
(А учителката ти дали е една много висока, с очила и се казва Светла? - Ясно, не е тя!)

[Anubis Black]

Anubis Black ,
недей да бъдеш чак такъв йезуит. В конкретния случай лесно се вижда и без централни ъгли, че AQ е ъглополовяща. Грешката на Sugar4o е, че AQ не е равна на MB.

И между другото, намерих решение на задачата при което се ползват именно свойства на вписани ъгли в окръжност. С подходяща картинка (построение), става на пет-шест реда. Нали такова решение търсим - кратко и елегантно ?

Точно такова, но нямаш право да ползваш вписани ъгли в окръжност. Ограничението е 7- ми клас. И като стана дума за него:

Понеже станаха прекалено много ограниченията за знания (на път сме да се наложи да решаваме само със знания по аритметика), си направих труда да проверя какво би трябвало да знаем след 7ми клас:от тук

От задачите тук виждам, че можем да добавим и:
Признаци за подобие на триъгълници. (следователно и техните свойства) - зад. 2/19.12.2004 г.
Вектори. (може би само като дефиниция, без аритметичните действия с тях) - зад. 2/21.12.2003 г.

Ако толкова ни трябва Питагор, можем да си го докажем и да си го ползваме

Подобие и Питагор се учат в 9- ти клас, а вектори- в 8- ми. Става доста лесно с тях, а и с окръжности, дъги, централни и периферни ъгли, но за съжаление нямаме право да ги ползваме.

май намерих "елегантното решение"
Ъгъла ABM го знаем че е 30, построяваме през B успоредна на височината и бележим петата при С С`
Получения триъгълник MBC` e равностранен - ъгъл 60 градуса и равни бедра, тоест MC`=AQ (Q е пресечната точка на права m и ъглополовящата)
от Q пускаме перпендикуляр към a и бележим с Q`

MC' може да е равно на AQ само когато Q и L съвпадат, защото MC'= BM= AL= CH. А ако Q и L съвпадат, то тогава не можем да пуснем височина от Q към а, защото Q лежи на а. Да издигнем перпендикуляр ли искаш, или да спуснем към b или c?
Дотук @Bibi дава най- добрите идеи, водейки се по ограниченията. Ако съумеем да продължим разсъжденията й в правилна посока, ще я решим.

[Edin_Lud]

@Anubis Black
ОК. Очаквам да кажеш какво можем да ползваме. Знаем ли свойства на медианите в триъгълник (1. m разделя триъгълника на два триъгълника с еднакви лица, 2. център на тежестта)? Свойства на правоъгълен триъгълник (1. медианата винаги е равна на 1/2 от хипотенузата, 2. ъгли 30 и 60 градуса)? Свойства на ъглополовящите (AL разделя BC в съотношение BL/LC = AB/AC)? Знаем ли какво е външен ъгъл, ъгли при пресичане на две успоредни линии с трета линия?

Така можем да си пишем цяла година теории и заради някоя дребна сметчица да не получаваме отговор, който да харесаш...

[Anubis Black]

@Anubis Black
ОК. Очаквам да кажеш какво можем да ползваме. Знаем ли свойства на медианите в триъгълник (1. m разделя триъгълника на два триъгълника с еднакви лица, 2. център на тежестта)? Свойства на правоъгълен триъгълник (1. медианата винаги е равна на 1/2 от хипотенузата, 2. ъгли 30 и 60 градуса)? Свойства на ъглополовящите (AL разделя BC в съотношение BL/LC = AB/AC)? Знаем ли какво е външен ъгъл, ъгли при пресичане на две успоредни линии с трета линия?

Така можем да си пишем цяла година теории и заради някоя дребна сметчица да не получаваме отговор, който да харесаш...

Всичко това се учи до 7- ми клас включително и може да се ползва.

[Sugar4o]

е чакай сега! щом може да ползваме че медианите се пресичат в 1 точка разделяща ги 2/1 считано от върха, тогава вече имахме решение...
от това се доказва веднагически че височината е и медиана тоест триъгълника е равнобедрен и оттам лесно

[Anubis Black]

е чакай сега! щом може да ползваме че медианите се пресичат в 1 точка разделяща ги 2/1 считано от върха, тогава вече имахме решение...
от това се доказва веднагически че височината е и медиана тоест триъгълника е равнобедрен и оттам лесно

Ако някъде съм казал, че може, съм се объркал. Това отношение (2:1) се учи в 8- ми клас.
П.П. Я ми прати решение като ползваш това, защото ми е интересно как го доказваш!

[Sugar4o]

интересува те след като се докаже че* е равнобедрен ли?
правя успоредна на НВ през точка С - СК (Н отива в С и е половината от страната b)
триъгълници МКС и АМХ (където Х е среда на СВ) са еднакви - СК=МХ=b/2, АМ=MС и ъглите при М и С са равни заради успоредност
от тази еднаквост имаме МК=АХ(че даже са и успоредни), но MK=AL=h (МВК е равностранен-равнобедрен с ъгъл 60)
Тоест точка Х и L съвпадат - ъглополовящата е и медиана

[Edin_Lud]

Всичко това се учи до 7- ми клас включително и може да се ползва.

Значи център на тежестта се учи до 7ми клас и може да се ползва...

Ако някъде съм казал, че може, съм се объркал. Това отношение (2:1) се учи в 8- ми клас.

А тук вече се учи в 8ми клас и не може да се ползва...

Пак да попитам. Какво точно можем да използваме? Бъди така добър да се поровиш, да намериш и да избориш с какви знания разполагаме.

Ако пък те мързи, не ти се занимава или не знаеш, приеми, че Bibi е решила задачата в поста с чертежите.

[Anubis Black]

интересува те след като се докаже че* е равнобедрен ли?
правя успоредна на НВ през точка С - СК (Н отива в С и е половината от страната b)
триъгълници МКС и АМХ (където Х е среда на СВ) са еднакви - СК=МХ=b/2, АМ=MС и ъглите при М и С са равни заради успоредност
от тази еднаквост имаме МК=АХ(че даже са и успоредни), но MK=AL=h (МВК е равностранен-равнобедрен с ъгъл 60)
Тоест точка Х и L съвпадат - ъглополовящата е и медиана

Хаха! Не, разбира се. Мога да ти го докажа по 100 различни начина ако знам, че е равнобедрен. Докажи, че е равнобедрен!

Значи център на тежестта се учи до 7ми клас и може да се ползва...А тук вече се учи в 8ми клас и не може да се ползва...

Пак да попитам. Какво точно можем да използваме? Бъди така добър да се поровиш, да намериш и да избориш с какви знания разполагаме.

Ако пък те мързи, не ти се занимава или не знаеш, приеми, че Bibi е решила задачата в поста с чертежите.

Дотук ви казах за абсолютно всичко, което попитахте, дали може или не може да се ползва. Ти беше изброил основните неща от 7- ми клас, после добави с въпросите си още, а и преди това отговорих на всеки, който попита. В поста на @Bibi не видях решение. Ще ме извините, но ако има такова, моля, покажете ми го!