Конус

[boishin]

Съжалявам, допуснал съм техническа грешка, но мисля, че метода ми е правилен.
След като открих грешката, получавам 209 навивки с обща дължина 631.14м.

Нямам време да рисувам картинки, но ще кажа с няколко думи. Смятам дължините на 209 окръжности , първата с радиус 100см. Стъпката на намаляване на радиуса на по-горната окръжност получих от триъгълниците и ъгъла - 0.5 см. (Закръглявах)
Накрая ги сумирам и получавам 631.14 м.

[MitkoS]

Да попиша още малко за случая "конична спирала".

...
А по-нагоре, вече приехме за вярно, че при стъпка 3см дължината на една обиколка на гирляндите, е по-малка от дължината на окръжнаста "под" нея
Len(Gn) < Len(On-1)
...

Междувременно доказах (на хартия), че спорното твърдение е математически стриктно вярно за конкретната елха.
Така че, горната граница за дължината, която съм посочил в предишния пост от 640,10631m е вярна. Освен ако Excel-а не може да смята.

Постигнах нещо повече (пак на хартия) - смъкнах надолу горната граница (с малко)
Новата горна граница която постигам е:
101* Pi*(4R - 2*201*D - D/2) = 639,32385 m

// Сега забелязвам, че по-същия начин, може с малко да се вдигне и долната граница
101* Pi*(4R - 2* 203*D + D/2) = 634,62910 m

Окончателно:
634,62910 m < Дължина на гирляндите < 639,32385 m
като тоя път сме абсолютно сигурни и за двете "<",

Пиша го само, защото на два пъти в тая тема се появяват по-високи резултати за дължината. И все в случаите когато е изчислявано с интеграл.

ДОБАВЕНО
Пооправих някои дребни грешки в тоя и в предишните ми постове, които като цяло не променят смисъла, а най-вече дробната част на числата

[Bibi]

Защото ти работиш с "конец" или "лента", която плътно се допира до елхата, а ние - с "маркуч", дебел 3 см., който обикаля по-навън...
Не е проблема в интегралите, а в модела, който сме избрали.

[MitkoS]

Ами права си (отново). Естествено, че гирляндата има някакъв диаметър, който при посочените от мен сметки не се отчита. Ама иначе след последното стеснение, границите се получиха доста добре от практическа гледна точка.

При R = 1 m ("конец", "лента")
долна граница: 101* Pi*(4R - 2* 203*D + D/2) = 634,62910 m
горна граница: 101* Pi*(4R - 2*201*D - D/2) = 639,32385 m

При R = 1.015 m ("маркуч" с диаметър 3 см)
долна граница: 101* Pi*(4R - 2* 203*D + D/2) = 653,66715 m
горна граница: 101* Pi*(4R - 2*201*D - D/2) = 658,36191 m

А за другото:

Именно!
Само дето моите не са перпендикулярни на диагонала, а мааалко по-полегати, защото имат да изкачат само 3 см. в единия край.
...

Става и с перпендикулярни. Просто при огъването, леко ще разместим двете застъпващи се страни нагоре-надолу, така че виждащата се част отдясно на всяка права, да съвпадне с виждащата се част отляво на долната (или горната) права

[Bibi]

А може пък ти да си прав - има най-различни модели гирлянди.
Ще е чудесно, ако Pandelka после снима елхата и да сложи снимката да й се порадваме

Вече ми се празнувааааааа...

[stekyman]

Да.
Общовалидно е само твърдението, че най-късата линия между две точки, лежащи в една равнина е върху правата между тях.

Да. защото правата е геодезичната линия за повърхнината наречена равнина (или още сфера с безкрайно голям радиус)

Всъщност чак сега те разбрах какво имаш пред вид - нещо подобно на това, че в случай на ядрена война, пътя на ракетите между ***** и САЩ ще бъде над северния полюс, тъй като тоя път е най-къс. То май и сега самолетите минават оттам.
...

Да, защото геодезичните линии за сферична повърхнина са меридианите (ако Земята се приеме за кълбо).

Между другото, опитахме да сметнем и интеграла. Получава се неприятна формула...
...
Не е проблема в интегралите, а в модела, който сме избрали.

Искаше ми се да пресметна криволинейния интеграл даващ точната дължина на кривата, но не ми се удява да я параметризирам успешно само от условието, че разстоянието между навивките е 3 см.
Успяхте ли да направите това параметризиране и въз основа на какви разсъждения?

[Bibi]

Разложих движението на две:

1. Една мравка М се движи праволинейно по билото, тръгвайки от т. А в основата, вървейки към върха Н. За единица време изминава 3 см. Тя се движи по закона:
|МА| = 3t

2. Конусът се върти около остта си, при което точка А се върти в кръг, като за същата единица време прави един оборот. Законът за нейното движение е:
(R.cos2Пt, R.sin2Пt, 0)

После комбинирах двете движения до окончателната формула.

//
Бях сгрешила нещо, оправих го...
При плоска гирлянда получавам 637.08 м.

[dedis]

Подзадачка на тази задача:
Тръгваш от т. А (черт. на Биби), обикаляш по ок. повърхност на конуса, пресичаш срещуположната образувателна и стигаш пак до т. А. Колко метра е най-късият път?
И една идея (тук, че не виждам бутона за нова тема, къде сте го скрили бре?) - да се пусне тема "Нерешени до сега задачи". Май останаха тук-таме такива. Авторите им да кажат. Може да се посочват само номерата - като лудите с вицовете. Може темата да се "закове" и да се ъпдейтва чат-пат.

[stekyman]

@dedis: Тази подзадачка (ако изобщо може да се нарече така, тя на практика няма нищо общо с поставената задача за гирляндата) в сравнение със задачата е много, много по-лесна. Най- късия път, както си го нарекъл е 3.0037757468684... м.
Режем конуса по образувателната АН - чертеж на Bibi. Налагаме срязания прав кръгов конус върху равнина, както е известно околната му повърхнина е кръгов сектор. В случая - с радиус АН=sqrt(37) и дължина на дъгата 2*pi метра. Половинката на ъгъла на този кръгов сектор е pi/sqrt(37) rad. Очевидно е , че търсения най-къс път по околната повърхнина е отсечката АА' свързваща краищата на дъгата на сектора, чиято дължина |AA'| е 2*sqrt(37)*sin(pi/sqrt(37)). Като крива върху конуса може да се получи като построим равнина през т.А перпендикулярна на диаметрално противоположната на АН образувателна на конуса. Това е пресечницата на тази равнина с коничната повърхнина.
@Bibi: Като прочетох в поста ти това:

Разложих движението на две:

1. Една мравка М се движи праволинейно по билото, тръгвайки от т. А в основата, вървейки към върха Н. За единица време изминава 3 см. Тя се движи по закона:
|МА| = 3t

2. Конусът се върти около остта си, при което точка А се върти в кръг, като за същата единица време прави един оборот. Законът за нейното движение е:
(R.cos2Пt, R.sin2Пt, 0)

направо се плеснах по челото и яко се наругах за слепотата си!
Не знам как си смятала интеграла, с програма от типа на Матлаб или класически, защото пишеш,

...
Между другото, опитахме да сметнем и интеграла. Получава се неприятна формула и, ако ...

Но аз използвах за параметър времето, след което се получи според мен лесен за пресмятане по класическите методи интеграл, който реших и накрая замествайки с числените стойности получих резултата колкото и ти си получила.

[Bibi]

Самия интеграл на хартия го сметнах, той си е класически, но после, като трябваше да замествам с конкретните стойности, се озорих и помолих Ексела за помощ, защото имаше нещо + ln(1 + корен от друго нещо).

[stekyman]

Да наистина е класически интегралът. И зорът е наистина при пресмятането на конкретната стойност.
Аз там използвах само вградения в Уиндоуса калкулатор
Сега се чудя дали да смятам по един друг метод - но....
Май наистина е време за празнуване.

[Lupus]

Горката Pandelka
Изсъхна и елхата докато сметнете колко гирлянд да си купи. А на Коледа ще сънува интеграли.