Задача за бойлер

[ql^2/8]

Задача:
В къщи имам два еднакви бойлера. Термостатът и на двата е настроен на 60 градуса.
Ако температурата падне на 55 градуса - включват, загряват до 65 градуса и изключват.
Прибирам се вечерта - единият свети (загрява), другият не свети. Нямат термометри.
Къде е по-вероятно да е по-топла водата?

[MitkoS]

Ако приемем, че скоростта на изстиване е постоянна и скоростта на загряване е постоянна, то:

Вероятността е една и съща и за двата бойлера !
Като се нарисува графиката на температурата в режим последователно изстиване и загряване, се вижда доста лесно, че вероятността е една и съща - едни подобни триъгълници (розовия и бледосиния) ни дават едни и същи зависимости и в режим изстиване и в режим загряване.
Т.е., ако V е вероятността температурата в загряващия да е T, то същата вероятност V имаме за температурата в изстиващия да е T

[Bibi]

Зависи кое става по-бавно - охлаждането или загряването.
Според мен се охлажда по-бавно, значи е по-вероятно загасналия да е по-топъл.

[rneshev]

Изстиването на водата в един бойлер е толкова по-бързо, колкото по-голяма е разликата в температурата на водата в бойлера и околната температура заради по-интензивния топлообмен. Следователно времето за падането на температурата на водата от 65 до 60 градуса е по-кратко от времето за падане от 60 до 55 градуса. За периода от време, когато бойлерът не работи, т. е. когато изстива, по-вероятно е температурата на водата да е под 60 градуса. Времето за загряване на водата в бойлерите е в пъти по-малко, отколкото времето за изстиването й, следователно топлообмена с околната среда по време на работа на бойлера е в пъти по-малък и се отразява много по-слабо като разлика в скоростта на загряване на водата при различни температури. В процентно съотношение интервалът от време на неработещ бойлер с температура под 60 градуса е по-голям от този на работещ бойлер под 60 градуса.
Тогава по-вероятно е водата в работещия бойлер да е по-топла.

[MitkoS]

И аз първоначално мислех като вас двамата, ама после като видях подобните триътълници на картинката по-горе ...

[Bibi]

Вероятността зависи от времето, а не от дължината на кривата/правата.
Т.е. авторът се прибира в даден момент. пускаме този момент да се движи напред-назад и гледаме дължините на отсечките по x.

[MitkoS]

да де, ама гледаме отношението на дължините на отсечките по x

ПП.
Така както съм го написал на картинката не е най-коректното по отношение за вероятността, но важното е, че отношенията са еднакви.

Коректното е:
(Вероятност в изстиващия температурата да е над T) = A1/(A1+A2)
(Вероятност в подгряващия температурата да е над T) = B1/(B1+B2)
и
A1/(A1+A2) = B1/(B1+B2)

ПП2
На картинката бях объркал местата на B1 и B.
Сега са както трябва

[Bibi]

Има един момент, в който двата бойлера са с еднакви градуси
пресечната точка
не е ясно това при колко градуса се е случило, но не е много важно
...
За определеност предполагам, че водата изстива по-бавно и се загрява по-бързо.
Също предполагам, че при толкова близки градуси кривината на спадането не е голяма.
Който е по-добре по физика, може да помогне с нещо по-конкретно.

Та, при тези условия гледам само интервала от време, в който загряващия бойлер вдига от 55 до 65.
Защото някъде по това време авторът се е прибрал.
Явно по-бавният процес трае по-дълго. наклонът е по-малък.
Затова времето до пресичането е по-дълго.
Значи загасналия е по-вероятен.

[rneshev]

Хубава графика, само да беше и точна. Ако загряването с известно приближение можем да приемем за линейно, т. е. приемам линията за права, ако пренебрегнем загубите на енергия по време на загряването, или ги приемем за константа за всяка една температура с оглед на многократно по-краткото време. Но с правата линия при изстиване не мога да се съглася, температурата намалява експоненциално. Ще дам един много прост конкретен пример, който много нагледно ще илюстрира положението.
Нека температурата на околната среда е 24 градуса. Мисля всички ще се съгласят, че разликата във времената на изстиване на водата от 65 до 60 градуса и от 30 до 25 градуса ще е в пъти по-голяма, отколкото разликата във времената за загряване на водата от 25 до 30 и от 60 до 65 градуса. Тъй като загубите на топлина (енергия) силно зависят от топлообмена между бойлера и околния въздух, а този топлообмен е функция на разликата на температурите на водата и околната среда, а температурата на водата в бойлера постоянно се променя, няма как топлообмена да е константа, а оттам и загубите на топлина не са еднакви и реално линиите на загряване и най-вече на изстиване изобщо не са прави.

[MitkoS]

Нас не ни интересува кога са с еднакви градуси !

Интересува ни температурата в момента в който погледнем бойлерите.
Нека в единия (да го наречем първия) да е T,
Въпроса е "каква е вероятността в другия да е по-голяма от T ?"
А също ни интересува и "каква е вероятността в първия температурата да е T ?"

ПП
rneshev,
ще чакам автора да каже дали изстиването и загряването са линейни (с постоянна скорост) в конкретната задача.

[rneshev]

Авторът да каже дали се променя околната температура през цялото това време или е постоянна. Аз я приемам за постоянна, иначе за да е права линията на изстиване, трябва за всеки градус, с който изстива бойлерът да пада с 1 градус и температурата в помещението с бойлера, а при загряване на водата да се покачва и така постоянно да се поддържа постоянно една и съща разлика между температурите на бойлера и околната среда, температурата на помещението можем да я контролираме с климатик например в рамките на 20-30 градуса примерно, но разликата в температурите не можем, защото за целта трябва да знаем температурите на бойлерите във всеки един момент, а те за съжаление нямат термометър!

[MitkoS]

В моя модел има един недостатък - има периоди в които и двата бойлера светят, а също и периоди в които и двата не светят.
Така както е условието, в такива периоди собственика не влиза в помещението.
Което значи, че начина по който описвам изчисляването на веротността не е верен, щото трябва да се "изрежат" едни вертикални ивици от картинката, т.е. да се махнат части от времевите интервали участващи в изчислението на вероятностите, с което махане се променя изчислението неопределимо

С Bibi снощи по Скайп разгледахме в детайли нейната идея за решение - произволни нелинейни скорости за загряване и изстиване, премахнати периодите в които двата бойлера едновлеменно и изстиват или едновременно подгряват, разглеждане на пресечната точка на температурните графики на дната бойлера.
Общо взето вероятността пак я докарахме до 50%, щото пресечната точка завси от дефазирането, което може да бъде всякакво.

Предполагам Bibi ще го напише по-ясно, ама след като ... се наспи ?

[Bibi]

Ок, ще опитам да кажа същото, но с други думи.
Първо - всичко, което правим, може и да е вярно, но със сигурност не е оптимално. Залагам си главата, че задачата може да се моделира по друг начин - толкова елегантен, че решението да става очевидно.
Второ - за простота предполагаме, че жилището е климатизирано, така че през целия ден циклите на бойлерите са еднакви и че никой не ги ползва преди стопанинът да се прибере.

Така че:
имаме два бойлера, чиито температурни графики са напълно еднакви начупени линии осцилиращи между 55 и 65. Може и криволинейни. Едната от двете фази най-вероятно е с различен наклон от другата.

По-натам: "връщам се аз и какво да видя:- единият свети, другият - не". Това значи, че тези две еднакви графики задължително имат някакво отместване една спрямо друга.
Освен това значи, че търсената вероятност е условна: Каква е вероятността А (изстиващият) да е по-топъл от Б (заграващия), при условие, че са в различни фази от цикъла си.
Затова трябва да мерим вероятности само в тези интервали от време, в които условието е на лице.
Ако двете графики се пресичат след средата на периода, който е допустим, А ще по-топлия - иначе Б печели.

Само че всичко това е симетрично - ако в сегашната ситуация печели А, има друга възможна ситуация, симетрична на нея, при която печели Б,

Или казано по друг начин: ако успоредно с тази задача решаваме още една (обратната) "Каква е вероятността А да е по-студен от Б", то сумата от решенията на двете задачи ще е 1, но самите сметки геометрически ще са същите.
Значи излиза, че отговорът трябва да е 1/2.

[ql^2/8]

Имаме верен отговор!
Ето моята графика, сами ще се сетите кой е:

[MitkoS]

единият свети (загрява), другият не свети.

А това как го отчитаме на "черната" картинка ?