Три задачки за претегляне:

[ql^2/8]

Пак е петък. Горещо е и не е подходящо за прекалено трудни задачи, нали? Повечето задачи за претегляне са за определяне на фалшивия предмет
(монета, кюлче, топче, камък..) с помощта на винаги перфектните везни. Е, моите три лесни задачи не са с перфектни везни:

Задача 1
В страната на лъжите везните действат ето така:
- ако претеглим два товара A, B и A>B, везната показва A<B
- ако претеглим два товара и A=B везната показва всичко друго, но не и A=B.
(всъщност равновесие не показва никога). Везните нямат набор с тежести.
Имаме 4 монети, от които три фалшиви и само една истинска, различна по тегло, но еднаква на вид. Само с 3 претегляния на лъжливата везна да
се определи истинската и дали тя е по-тежка или по-лека.

Задача 2
Имаме 2 златарски везни, всяка с набор тежести и пръстен, който трябва да претеглим. Едната везна не е балансирана заради разлика в рамената,
но тежестите и са съвършени. Другата везна има перфектен баланс, но тежестите и са съмнително верни.
Нямаме право да ползваме едната везна с тежести от другата. Как да претеглим пръстена?

Задача 3
Отново имаме две везни, без тежести. Знаем, че и двете са напълно изправни и верни. Само че са различно чувствителни. Едната има
чувствителност 2 грама (до 2 грама разлика показва равновесие, над 2 грама показва вярно). Другата е с чувствителност 0.5 грама.
Не знаем коя е точната везна. Имаме 9 еднакви на външен вид монети, 8 по 10 грама и една от 9 грама.
Разполагаме с 3 претегляния да определим различната.

[Bibi]

По Задача 1: мога ли да приема, че трите фалшиви тежат еднакво?

По Задача 2: не разбирам условието еднозначно.
Например може ли да се каже, че имаме 2 еднакви пръстена, които се намират в различни държави. И двама златари, които си общуват по нета и имат задача да кажат колко тежат пръстените. Т.е. не може нищо от едната везна да се ползва при другата по никакъв начин?
И освен това тежестите какви са? Имам ли достатъчно от тях, за да мога да позная с коя от двете везни меря?

[ql^2/8]

По Задача 1: мога ли да приема, че трите фалшиви тежат еднакво?

Абсолютно да. Фалшивите монети са основно разменно средство в страната на лъжите.

По Задача 2: не разбирам условието еднозначно.
Например може ли да се каже, че имаме 2 еднакви пръстена, които се намират в различни държави. И двама златари, които си общуват по нета и имат задача да кажат колко тежат пръстените. Т.е. не може нищо от едната везна да се ползва при другата по никакъв начин?
И освен това тежестите какви са? Имам ли достатъчно от тях, за да мога да позная с коя от двете везни меря?

Да, не може нищо от едната везна да се ползва при другата. Само резултатът от претеглянето може.
Тежестите са точно такива, каквито ти трябват, с допълнението от условието.

[Bibi]

В такъв случай имам решение.

Задача 1.
Кръщавам монетите a, A, b, B.
(Общо взето ги разделям по двойки по всичките 3 възможни начина)

Първо: претеглям aA срещу bB. Да кажем, че получавам aA > bB (обратният случай е симетричен).
Това значи, че aA <= bB. Но равенството е невъзможно, щом точно 3 от монетите са с еднакви тегла.
Значи aA < bB.

Тук ще кажа, че ако теглим кои да е 2 срещу останалите, равенството е невъзможно.

Второ: претеглям ab срещу AB. Получавам ab > AB (и пак обратният случай е симетричен).
Значи ab < AB.
От тук може да се заключи, че търсената монета или е a и е по-лека от фалшивите, или е B и е по-тежка.

Трето: претеглям ги заедно - aB срещу Ab.
Ако получа aB > Ab, това ще означава, че aB < Ab и търсената монета е a (по-лека)
Иначе търсената е B (по-тежка).

[ql^2/8]

Браво!

1:0 За Bibi

[Bibi]

Задача 2.
Ако при всяка везна имам две тежести, на които пише, че са 1 г, с тях мога да разпозная коя везна каква е.
Слагам ги едно срещу друго.
При везната с различни рамене, ще се покаже разлика. При другата може и да не се покаже, ако двете грамчета са грешни по еднакъв начин. Но дори да са различно грешни, това не е проблем, защото втори път ги сравнявам, като им сменям местата.
При везната с различни рамене, ще се покаже същата разлика в същата посока. Ако при другата е имало разлика, тя ще си смени посоката.
Така научавам коя е везната с различни рамене и ще измеря пръстена с нея.

Първо го меря отляво. Получавам някакво число - да кажем 2 грама.
После го меря в дясното блюдо. Ново число. 3 грама.
Според мен пръстенът тежи точно по средата - 2.5 грама.

Сега малко уговорки.
Може да нямам 2 грамчета с еднакви надписи, но да имам групи с еднакви суми. Примерно 2, 3 и 5.
Тогава ще определя везната с тях.
Но има един случай, който тук сме решавали навремето - кой е най-икономичният комплект грамчета, с който могат да се измерят всички цели числа. Отговорът беше по степените на 3, а именно: 1, 3, 9, 27...
Ако сме с такъв комплект, моят начин няма да сработи.

По третата още не съм мислила.

[ql^2/8]

Всъщност, при тази задача предварително се знае коя везна е
със сбъркани рамене и коя със съмнителни грамчета.
И имаш избор да теглиш на едната, на другата или на двете.

А отговорът не се приема.
_________________________________________________[color=red]слети поредни публикации на: [time]1340392084[/time]_________________________________________________

Това със степените на тройката не го разбрах..

Как ще премерим 7 грама примерно?

[Bibi]

7 се получава като сложиш 9+1 от едната страна и 3 от другата.

_________________________________________________
За втората задача се чудя защо е известно коя везна каква е, след като може да се открие?
Но както и да е.

Междувременно си припомних лост от I род и си видях грешката.
Ако лявото измерване посочи p грама, а дясното - q, пръстенът тежи
#pq (корен от p.q)

Значи не било средно аритметично, ами средно геометрично.

Той MitkoS хубаво ми казваше да броя до 100, но кой да слуша...

[ql^2/8]

7 се получава като сложиш 9+1 от едната страна и 3 от другата.
За втората задача се чудя защо е известно коя везна каква е, след като може да се открие?

Мдаа, сам се убедих за степените на тройката, ама докато гледам мача не се съсредоточих.
Везните са известни, защото едната е ненужна, просто за заблуждение. Лост от I род
с верни грамчета е достатъчен.
Даденото от теб решение е оригиналното. Иначе може да получим коефициента на лоста
(везната), теглейки само грамчета и после да коригираме полученото тегло на пръстена.

2:0

[Bibi]

Задача 3.
Първо: Слагам на първата везна монети 1234 срещу 5678.
Ако покаже разлика, това ще значи, че това е чувствителната везна и леката монета е една от 4-те.
Понеже ми остават още 2 претегляния, ще успея да я намеря.

Затова гледам по-трудния вариант - везната показва равенство.
Това може да се случи в 2 различни варианта:
- или първата везна е грубата, всяка от монетите може да е фалшивата,
- или това е хубавата везна, а леката монета е 9.

Второ: Слагам на втората везна монети 123 срещу 567.
Ако сега тази покаже разлика, това ще значи, че втората везна е хубавата, леката монета е една от 3-те. Остава ми още един опит, така че ще я намеря.
Ако пак имаме равенство, продължавам.

Трето: Слагам пак на втората везна монети 4 срещу 8.
Ако се покаже разлика - намерила съм фалшивата.
Ако е равенство - фалшивата монета е 9 и според двете везни.
Независимо, че не съм успяла да разбера коя везна е хубавата.

[ql^2/8]

Браво! Закова го.


3:0

Весели почивни дни!

[dedis]

Везните са известни, защото едната е ненужна, просто за заблуждение. Лост от I род
с верни грамчета е достатъчен.
Даденото от теб решение е оригиналното. Иначе може да получим коефициента на лоста
(везната), теглейки само грамчета и после да коригираме полученото тегло на пръстена.

Аз, понеже не мога да смятам, бих уравновесил пръстена, след което го махам и на негово място слагам грамове до ново равновесие.

[ql^2/8]

Аз, понеже не мога да смятам, бих уравновесил пръстена, след което го махам и на негово място слагам грамове до ново равновесие.

Ами да - ти сведе всичко до събиране на грамчета.
Аз се опитах с умножение и деление.
Но пък с коренуване си е някак си по-естетично.

[Bibi]

Аз, понеже не мога да смятам, бих уравновесил пръстена, след което го махам и на негово място слагам грамове до ново равновесие.

Великолепно!