Новини
Форум
Актуално
сървър
1ОдобрявамГорното поражда въпроси, но засега ще ги преживям на спокойствиеПървоначално публикувано от ql^2/8
.
Горното поражда въпроси, но засега ще ги преживям на спокойствие
sphera.jpg
Аз пък около полусферата описах един цилиндър с височина R и основа с радиус R. Полусферата разделя цилиндъра на два обема, син, пълен с вода и розов. Ако розовото тяло с теглото на полусферата плува във вода, то и самата полусфера ще отплува. Обемът на цилиндъра е Pi*R^3, обемът на полусферата e 2*Pi*R^3/3, a а разликата им (розовото тяло) е точно Pi*R^3/3 ili Pi/3 m^3. При плътност на водата 1000kg/m^3 тялото ще измества точно 1000*Pi/3kg вода и ще плува.
Няма нищо по-добро от това да седнеш и да си решиш задачката на чисто на бял лист. Откриват се доста от грешките.
Не си прав gl^2/8. Не че моето решение беше точно, но пък поне подхода ми се струва че е без възможност за грешки. Започвам от начало.
Координатна система - Радиална. Нормално след като обекта ни е по-скоро със сферична симетрия. Тъй като дебелината не е указана я пренебрегвам и приемам радиуса за константа = 1. Ъглите са θ и φ. Първият го отчитаме от оста на симетрия до равнината на среза на полусферата (0;π/2), а втория от произволна права в равнината на среза през цялата равнина (0;2π).
Силите които действат в системата са 2. Гравитация и тази предизвикана от хидростатичното налягане. (Всъшност хидростатичното налягане е следствие от гравитацията така че деюре силата е една.). Гравитацията дърпа сферата със сила G=m.g където m е масата на полусферата, а g земното ускорение.
Разглеждам граничния случай на напълнена докрай полусфера. Хидростатичното налягане(P) действа във всяка точка от вътрешната повърхност в посока перпендикулярна на повърхността. Или радиално от центъра на хипотетичната пълна сфера. Силата предизвикана от налягането е равна на F=P.S. Налягането изчислявам като P= ρ.g.h. Височината h отчитам от отвора за наливане до равнината на среза. Тя е променлива и във всяка точка от повърхността е равна на (1-sin(90-θ))=(1-cos(θ)). Тъй като силата е различна във всяка точка записваме уравнението за силата в диференциален вид dF=P.dS=ρ.g.(1-cos(θ)).dS. Тъй като тази сила е под ъгъл спрямо гравитационната я разделям на две компоненти. Успоредна на гравитационната(cos(θ)) и успоредна на равнината(sin(90)). Компонентата със синуса е еднаква по големина и обратна по посока с тази на диаметрално разположена точка. Следователно диференциалното уравнение става : dF||=P.dS=ρ.g.(1-cos(θ)).dS.cos(θ). Елементарната площ dS е равна на произведението на елементарните изменения на ъглите θ и φ. При интегриране на dF||=ρ.g.(1-cos(θ)).cos(θ).dθ.dφ получавам F||=ρ.g.∫∫(1-cos(θ)).cos(θ).dθ.dφ=ρ.g.∫dφ∫(1-cos(θ)).cos(θ).dθ=ρ.g.2π.(1-π/4). Приравняваме на гравитационната сила получаваме израз за минималната маса на куха полусфера която може да се напълни с вода. m=ρ.2.π.(1-.π/4)~1.34-1.36 тона в зависимост от температурата на водата.
Всичко останало беше вярно. Без това. Отрязъкът, който dφ изрязва от сферата
е криволинеен триъгълник, т.е. при намаляване на θ площта намалява. Така че
ще се съглася ако добавиш sin(θ) и за елементарна площ ползваш израза:
dS=dθ.dφ.sin(θ)
Можеш да опиташ с твоя и с моя израз да получиш чрез интегриране площта.
на полусферата, за да се убедиш сам.
Лошо е човек да пише преди да се е събудил.surrendering-emoticon-animated-white-waving-flag.gifПри безкрайно малки, клонящи към нула, изменения на ъглите разликата между криволинейната площ и нормалната са никакви. А това за триъгълника без чертеж или подробно обяснение не го приемам.
Този пост е редактиран от Yasen6275; 21-07-15 в 07:08.
Много елегантно решение! Ако потопим розовото тяло (разбира се с дупчица на върха да излиза въздуха) във вода, и то има теглото на полусферата,
ще потъне точно дотам, докъдето би се напълнила полусферата. Ако розовото тяло потъне - значи полусферата може да се напълни догоре.
Отговор с цитат
