Малко физика

[dedis]

И да разстоянието между центъра на масите на двете тела е. Което при допиращи се "сфери" с радиуси ~10^3km и 1 m мисля че спокойно можем да приемем за равно радиуса на голямата сфера.

Ето това ми се вижда невярно - във ф-лата на Нютон дали е коректно да се работи с разстоянието между центровете.
Това ме провокира да пусна задачката. Струва ми се, че, ако масите са съсредоточени в точки, ефективният r ще е по-малък. Но дори и да е така, резултатите ви са верни, тъй-като се излолзват само съотношения.
За по-ясно: Ако земята има радиус 6000км и се свие в точка със същата маса, то тази точка трябва да е по-близо до човека, за да го привлича със същата сила.
Дали съм прав?

[ql^2/8]

Според учебниците законът на Нютон е валиден за точки, а също и за сфери, стига
разстоянието между центровете им да е по-голям от сумата на радиусите, което ще
рече, да не се застъпват (то това е близо до ума).
Това, което казваш, излиза от тази теория.

[Yasen6275]

Ето това ми се вижда невярно - във ф-лата на Нютон дали е коректно да се работи с разстоянието между центровете...

Гравитационното поле е сферчно. Телата които разглеждаш са сфери, такаче дали ще се бъхташ да смяташ 3-ни инеграли или ще ги приравниш на точка със същата маса, разлика няма. Виж ако тръгнеш да работиш с някой елипсоид е друго.

- - - - - - - - - -

...За по-ясно: Ако земята има радиус 6000км и се свие в точка със същата маса, то тази точка трябва да е по-близо до човека, за да го привлича със същата сила.
Дали съм прав?

Не, ще го привлича със същата сила на същото разтояние. Това ако пренебрегнем квантовите ефекти разбира се. Защото точка с маста на земята определено няма как да съществува при нормални условия.
То това и хубавото на класическата физика. С "прости" уравнения описваш почти всичко видимо с просто око и оптически уреди.

[dedis]

Ясене и ql, не съм съгласен, въпреки, че авторитетът ви пред мен е огромен.
Нека разделим земята на две части с центрове на тежестта А и В:
Z.png
Ако ми докажете, че сумарното привличане на двете половинки спрямо човечето (стрелкичката) е равно на сър Нютон за цялото тяло с радиус r, свивам знамената и признавам, че нямам интуиция.

[Yasen6275]

Ще ми е малко сложно точно с тази постановка. Не са това нещата които имат еднагво гравитационно влияние. Ще сеопитам по малко по друг начин. Представи си земята като съставена от безктайно много тънки цилиндри. Но безкрайно тънки, тоест отсечки. Всичките минаващи през центъра на сферата. Сега да вземем от всичките цилиндри този който се намира на отсечката свързваща центъра на масите на земята и човечето. Разделямего на малки цилидърчета с височина каквато е дебелината на цилидъра. За да избегнем делене на нула ще приемем че човечето не е точно на повърхноста, а на едно безкрайно малко разтояние а което е равно на диаметрите и височините на цилиндърчетата. Взимаме двете цилирндърчета намиращи се на двата края на дългия цилиндър. За далечното имаме F1=G(ρ*(а^3)*m)/((2r+a)^2) а близкото имаме F2.=G(ρ*(а^3)*m)/(а^2). Сумираме двете сили => F1+F2=G(ρ*(а^3)*m)/((2r+a)^2)+G(ρ*(а^3)*m)/(а^2). Изкарваме пред скоба общите неща и получаваме F1+F2=G(ρ*(а^3)*m)*(1/((2r+a)^2)+1/(а^2)) Поради уморa/невнимание или нещо друго не мога да го изведя, но почернения израз е равен на нещо от рода на P1*2/(r^2). Аналогични разсъждения за следващите две цилиндърчета намиращи се с една идея по-близо до центъра ще даде Р2*2/(r^2). Произведението на всчки Р-ве ще даде единица.После се взимат един сноп който е "плътно допрян" до първия цилиндър,правят се едни корекции около центъра и т.н. Мисля че схвана идеята.

Грешката ти е че разсъждаваш за земята(кълбо) и гравитацията (сферично поле) в координатна ситема с ортогонани 3 оси.

[dedis]

Ясене, примерът с цилиндърчето или пръчка, да речем, е чудесен, но ... за доказване на моята теза.
Още от първата двойка парченца се вижда, че близкото до човека добавя огромна стойност, а далечното губи само 3/4 от гравитацията на едно "централно" парче. Т.е. сумата от двете е, да речем, 1000 или 1000000 пъти по-голяма от очакваното от теб.
С наближаване към центъра тази стойност рязко намалява, но винаги е в плюс спрямо твоята теория.
Това мъъъничко "а" на втора в знаменателя катурва колата.
Ти си на ход TEST
---------------------------------------
Впрочем, като загубя спор, аз се радвам, защото съм научил нещо ново.
Ще се радвам ти да си прав!

[ql^2/8]

Ясене и ql, не съм съгласен, въпреки, че авторитетът ви пред мен е огромен.
Нека разделим земята на две части с центрове на тежестта А и В:
Ако ми докажете, че сумарното привличане на двете половинки спрямо човечето (стрелкичката) е равно на сър Нютон за цялото тяло с радиус r, свивам знамената и признавам, че нямам интуиция.

Законът на Нютон е валиден за материална точка. С интергиране може да се докаже и за сфери, които не се пресичат.
За неправилни тела трябва да се приложи интегриране на техни части, които могат да с достатъчна точност да се
приемат за точки или малки сфери. В този смисъл, доколкото интеграла от двете половини е равен на интеграла от
цялото - задачата ти е доказана.
Никъде не се споменава, че за неправилни тела гравитацията може да се изчисли с разстоянието между центровете на тежестта,
т.е. разбиването на сферата на конусчета, пирамидки или други парчетии, които не са близки до точка/сфера няма да доведе доникъде.

[dedis]

Май не мога да обяснявам добре.
Аз твърдя, че в случая с хомогенна сфера, силата на привличане е по-голяма от m*M/r^2:
mM.png
Причината е в нелинейността на формулата.
Близките елементи от сферата въздействат много по-силно от симетричните им далечни. Т.е. няма "компенсация".
Може и да греша, де...

- - - - - - - - - -

Законът на Нютон е валиден за материална точка. С интергиране може да се докаже и за сфери, които не се пресичат.
За неправилни тела трябва да се приложи интегриране на техни части, които могат да с достатъчна точност да се
приемат за точки или малки сфери. В този смисъл, доколкото интеграла от двете половини е равен на интеграла от
цялото - задачата ти е доказана.
Никъде не се споменава, че за неправилни тела гравитацията може да се изчисли с разстоянието между центровете на тежестта,
т.е. разбиването на сферата на конусчета, пирамидки или други парчетии, които не са близки до точка/сфера няма да доведе доникъде.

Напълно прав си! Грешката е моя (разсаяност и невнимание) - вместо "цялото тяло с радиус r" да се чете "материална точка в центъра със същата маса".

[ql^2/8]

Разбрах ти идеята. Действително две точки - една на разстояние (L+d) и друга, на разстояние (L-d)
не се равнават на две точки на разстояние L. (L е разстоянието между центровете.)
За сметка на това обаче, точките на разстояние по-малко от R са по-малко (да кажем към 40%),
а точките, на разстояние по-голямо от R са 60%. С отдалечаването на двете сфери разликата
в процентите намалява, но пък и разликата между L-d и L+d става незначителна.
sf-gravi.jpg

[Yasen6275]

Май не мога да обяснявам добре.
Аз твърдя, че в случая с хомогенна сфера, силата на привличане е по-голяма от m*M/r^2:
mM.png
Причината е в нелинейността на формулата.
Близките елементи от сферата въздействат много по-силно от симетричните им далечни. Т.е. няма "компенсация".
Може и да греша, де...

Има нещо гнило в разсъжденията ти, но явно съм ръждясал и не мога да го хвана.
Ако съм те разбрал правилно гравитационната сила която изпитваш на повърхността на земята няма да е същата с тази която ще изпитваш на 3000км над повърхността на планета с 8 пъти по висока плътност от земната но със същата маса като земната?

[dedis]

Има нещо гнило в разсъжденията ти, но явно съм ръждясал и не мога да го хвана.
Ако съм те разбрал правилно гравитационната сила която изпитваш на повърхността на земята няма да е същата с тази която ще изпитваш на 3000км над повърхността на планета с 8 пъти по висока плътност от земната но със същата маса като земната?

Да. Така мисля, ама дали..., че и gl е прав...
Смазвай чарковете и дай вектор "измитащ" обема, а и 2d ще даде представа. Че интеграл не съм решавал for ages.

[Yasen6275]

https://en.wikipedia.org/wiki/Shell_theorem

Мнооого далече от възможностите ми да го измисля.

[ql^2/8]

Докато сме на тема физика, сфери и гравитация, да пусна една задачка в петък,
хем освен Нютон да натопя и Архимед:

Тънка куха полусфера без дъно е захлупена на идеално гладка водоплътна повърхност.
На върха на полусферата има малък отвор, откъдето може да се налива вода.
Самата полусфера има радиус 1 метър и тежи 1 тон. Ще може ли да се напълни догоре?

[Yasen6275]

~2 кубични метра с маса 1 тон! Плътност от 0.5 г/см^3. Каква е тая стомана бе?

[dedis]

https://en.wikipedia.org/wiki/Shell_theorem

Мнооого далече от възможностите ми да го измисля.

A spherically symmetric body affects external objects gravitationally as though all of its mass were concentrated at a point at its centre. Явно моята интуиция отиде на кино
Ще го преживeя и ще го знам вече!
------------------------------------------
Новата задачка: на първо четене - няма да може. Ще протече лри 32см воден стълб.